Задача инициализации для сингулярно возмущенного интегрального уравнения с диагональным вырождением ядра

  • Абдухафиз [Abdulkhafiz] Абдурасулович [A.] Бободжанов [Bobodzhanov]
  • Валерий [Valery] Федорович [F.] Сафонов [Safonov]
Ключевые слова: сингулярное возмущение, интегральное уравнение, диагональное вырождение, инициализация

Аннотация

Рассмотрено сингулярно возмущенное интегральное уравнение с диагональным вырождением ядра первого порядка, содержащее под знаком интеграла не только неизвестную функцию, но и производную от нее. Так же, как и в случае отсутствия производной под знаком интеграла, ставится задача о построении регуляризованного (по Ломову) асимптотического решения этой задачи и исследовании предельного перехода в ней при стремлении малого параметра к нулю на всем промежутке времени, включая и зону пограничного слоя (задача инициализации). В отличие от рассмотренного ранее случая, где положительность диагонального ядра и независимость интегрального оператора от производной неизвестной функции приводили к построению регуляризованной асимптотики лишь с быстро осциллирующими функциями, задача с производной допускает решения, асимптотика которых может содержать как быстро осциллирующие, так и быстро убывающие компоненты. Заметим, что аналогичная задача была изучена ранее лишь для интегродифференциального уравнения. В этом случае исходными данными для класса инициализации являются не только неоднородность и ядро интегрального оператора, но и начальный вектор. Это значительно облегчает исследование задачи инициализации. В случае же сингулярно возмущенного интегрального уравнения это не так, поэтому класс инициализации здесь будет «беднее», чем в интегродифференциальном случае. В качестве объекта для изучения предельного перехода берется главный член асимптотики в его регуляризованной (по Ломову) форме. Именно такая форма наиболее близка к точному решению рассматриваемой задачи и поэтому изучение главного члена асимптотики в его регуляризованной форме позволяет устранить те составляющие в точном решении, которые мешают стремлению решения к предельному. Все выкладки проведены для скалярного уравнения, но они будут справедливы и в векторном случае.

Сведения об авторах

Абдухафиз [Abdulkhafiz] Абдурасулович [A.] Бободжанов [Bobodzhanov]

Учёная степень:

доктор физико-математических наук

Место работы

кафедра Высшей математики НИУ МЭИ

Должность

профессор

Валерий [Valery] Федорович [F.] Сафонов [Safonov]

Учёная степень:

доктор физико-математических наук

Место работы

кафедра Высшей математики НИУ «МЭИ»

Должность

профессор

Литература

1. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональным вырождением ядра // Дифференциальные уравнения. 2001.Т. 37. № 10. С. 1330—1341.

2. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Асимптотический анализ сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем с нулевым оператором дифференциальной части // Дифференциальные уравнения.2011. Т. 47. № 4. С. 519—536.

3. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во МГУ, 2011.

4. Сафонов В.Ф., Бободжанова М.А. Предельный переход в сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнениях с нулевым оператором дифференциальной части // Вестник МЭИ. 2006. № 6. С. 91—100.

5. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра // Вестник МЭИ. 2010. № 6. С. 34—46.
---
Для цитирования: Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Задача инициализации для сингулярно возмущенного интегрального уравнения с диагональным вырождением ядра // Вестник МЭИ. 2017. № 5. С. 150—156. DOI: 10.24160/1993-6982-2017-5-150-156.
#
1. BobodzhanovA.A., SafonovV.F. Regulyarizova- nnye Asimptoticheskie Resheniya Singulyarno Vozmu- shchennyh Integral'nyh Sistem s Diagonal'nym Vy- rozhdeniem Yadra. Differentsial'nye uravneniya. 2001;37;10:1330—1341. (in Russian).

2. Bobodzhanova M.A., Safonov V.F. Asimptotiches- kiy Analiz Singulyarno Vozmushchennyh Integrodifferen- tsial'nyh Sistem s Nulevym Operatorom Differentsial'noy Chasti. Differentsial'nye Uravneniya. 2011;47;4:519—536. (in Russian).

3. Lomov S.A., Lomov I.S. Osnovy Matematicheskoy Teorii Pogranichnogo Sloya. M.: Izd-vo MGU, 2011. (in Russian).

4. Safonov V.F., Bobodzhanova M.A. Predel'- nyy Perekhod v Singulyarno Vozmushchennyh Integrodifferentsial'nyh Uravneniyah s Nulevym Opera- torom Differentsial'noy Chasti. Vestnik MPEI. 2006;6:91—100. (in Russian).

5. Eliseev A.G., SHaposhnikova D.A. Asimptotika Singulyarno Vozmushchennogo Integral'nogo Uravneniya Vol'terra. Vestnik MPEI. 2010;6:34—46. (in Russian).
---
For citation: Bobodzhanov A.A., Safonov V. F. The Initialization Problem for a Singularly Perturbed Integral Equation with the Diagonally Degenerated Kernel. MPEI Vestnik. 2017;5: 150—156. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2017-5-150-156.
Опубликован
2019-01-18
Раздел
Математика (01.01.00)