Задачи типа Гильберта для уравнения Коши–Римана с сингулярной окружностью в младших коэффициентах

  • Абдурауф [Abdurauf] Бабаджанович [B.] Расулов [Rasulov]
  • Юрий [Yuriy] Сергеевич [S.] Федоров [Fedorov]
Ключевые слова: уравнение Коши–Римана, сингулярные окружность и точка, оператор Векуа, задача типа Римана–Гильберта

Аннотация

В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимает система уравнений Коши–Римана. Подобную систему с младшими членами и с правой частью называют обобщенной системой Коши–Римана (ОСКР). Ее удобно исследовать, осуществляя переход из вещественного пространства в комплексное.

Существует несколько различных математических теорий уравнений, обобщающих методы теории функций комплексного переменного. В первую очередь следует отметить работу Л. Берса, в которой собраны операции интегрирования по комплексному переменному для обобщенной системы типа Коши–Римана. Данный подход получил известное завершение в теории псевдоаналитических функций. В работах Г.Н. Положего развита теория р-аналитических функций, близкая к работам Л. Берса.

Другое,  более  прогрессивное,  направление  получило  название  обобщенных  аналитических  функций  и  развивалось  школой И.Н. Векуа и его последователей (Б.В. Боярский и др.). В данном случае на основе использования аппарата функционального анализа формируется идея соответствия между функциями комплексного переменного и решениями обобщенного уравнения Коши–Римана. Теория Векуа построена в предположении, что коэффициенты при младших коэффициентах функции принадлежат пространству суммируемых функций со степенью р > 2. Коэффициенты указанных систем могут допускать «слабые» особенности, лимитируемые требованием р-интегрируемости. Таким образом, даже уравнения с коэффициентами, обладающие особенностями первого порядка, не охватываются теорией Векуа. Однако иные задачи, младшие коэффициенты которых допускают особенности первого порядка или «сильные» особенности, сводится к ОСКР. В настоящей работе для ОСКР, младшие коэффициенты которой допускают сильную особенность в окружности, решены задачи типа Гильберта.

Сведения об авторах

Абдурауф [Abdurauf] Бабаджанович [B.] Расулов [Rasulov]

Расулов Абдурауф Бабаджанович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики НИУ «МЭИ», e-mail: rasulov_abdu@rambler.ru

Юрий [Yuriy] Сергеевич [S.] Федоров [Fedorov]

Федоров Юрий Сергеевич — доцент кафедры высшей математики НИУ «МЭИ», e-mail: FedorovYS@mpei.ru

Литература

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.
2. Михайлов Л.Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во ТаджикНИИНТИ, 1963.
3. Усманов Д. Обобщенные системы Коши–Римана с сингулярной точкой. Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1993.
4. Тунгатаров А., Абдыманапов С.А. Некоторые классы эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами. Алматы: Ғылым, 2005.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
6. Begehr H, Dao-Qing Dai. On Continuous Solutions of a Generalized Cauchy-Riemann System with More than One Singularity // J. Differential Equations. 2004. V. 196. Pp. 67—90.
7. Meziani A. Representation of Solutions of a Singular CR Equation in the Plane // Complex Var. and Elliptic Eq. 2008. V. 53. Pp. 1111—1130.
8. Гончаров А.Л., Климентов С.Б. Построение нелокальных решений обобщённых систем Коши–Римана с сингулярной точкой // Тез. докл. Междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти. Абрау-Дюрсо, 1998. С. 185—187.
9. Расулов А.Б., Солдатов А.П. Краевая задача для обобщенного уравнения Коши–Римана с сингулярными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 5. С. 637—650.
10. Расулов А.Б., Бободжанова М.А., Федоров Ю.С. Представление общего решения уравнения типа Коши–Римана с сингулярной окружностью и особой точкой // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2016. № 3. С. 1—16.
11. Расулов А.Б. Интегральные представления и краевые задачи для обобщенной системы Коши–Римана со сверхсингулярными многообразиями // Вестник МЭИ. 2012. № 6. С. 23—30.
12. Akhmed-Zaki D.K., Tungatarov A. About One System of First Order Partial Differential Equations with Singular Lines // Proc. IV Congress of the Turkic World Mathematical Soc. Azerbaijan, 2011. P. 144.
13. Reissig M., Timofeev A. Dirichlet Problems for Generalized Cauchy–Riemann Systems with Singular Coefficients // Complex Variables. 2005. V. 50. No. 7 (11). Pp. 653—672.
14. Goluzin G.M. Geometric Theory of Functions of a Complex Variable. Providence: AMS, 1969.
---
Для цитирования: Расулов А.Б., Федоров Ю.С. Задачи типа Гильберта для уравнения Коши–Римана с сингулярной окружностью в младших коэффициентах // Вестник МЭИ. 2020. № 2. С. 120—124. DOI: 10.24160/1993-6982-2020-2-120-124.
#
1. Vekua I.N. Obobshchennye Analiticheskie Funktsii. M.: Fizmatgiz, 1959. (in Russian).
2. Mikhaylov L.G. Novye Klassy Osobykh Integral'nykh Uravneniy i Ikh Primenenie k Differentsial'nym Uravneniyam s Singulyarnymi Koeffitsientami. Dushanbe: Izd-vo TadzhikNIINTI, 1963. (in Russian).
3. Usmanov D. Obobshchennye Sistemy Koshi–Rimana s Singulyarnoy Tochkoy. Dushanbe: Izd-vo AN Tadzh. SSR, 1993. (in Russian).
4. Tungatarov A., Abdymanapov S.A. Nekotorye Klassy Ellipticheskikh Sistem na Ploskosti s Singulyarnymi Koeffitsientami. Almaty: Ғylym, 2005. (in Russian).
5. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye Integral'nye Uravneniya. M.: Nauka, 1968. (in Russian).
6. Begehr H, Dao-Qing Dai. On Continuous Solutions of a Generalized Cauchy-Riemann System with More than One Singularity. J. Differential Equations. 2004;196: 67—90.
7. Meziani A. Representation of Solutions of a Singular CR Equation in the Plane. Complex Var. and Elliptic Eq. 2008;53:1111—1130.
8. Goncharov A.L., Klimentov S.B. Postroenie Nelokal'nykh Resheniy Obobshchennykh Sistem Koshi–Rimana s Singulyarnoy Tochkoy. Tez. Dokl. Mezhdunar. Shkoly-seminara po Geometrii i Analizu Pamyati. AbrauDyurso, 1998:185—187. (in Russian).
9. Rasulov A.B., Soldatov A.P. Kraevaya Zadacha dlya Obobshchennogo Uravneniya Koshi–Rimana s Singulyarnymi Koeffitsientami. Differentsial'nye Uravneniya. 2016;52;5:637—650. (in Russian).
10. Rasulov A.B., Bobodzhanova M.A., Fedorov Yu.S. Predstavlenie Obshchego Resheniya Uravneniya Tipa Koshi–Rimana s Singulyarnoy Okruzhnost'yu i Osoboy Tochkoy. Differentsial'nye Uravneniya i Protsessy Upravleniya. 2016;3:1—16. (in Russian).
11. Rasulov A.B. Integral'nye Predstavleniya i Kraevye Zadachi dlya Obobshchennoy Sistemy Koshi–Rimana so Sverkhsingulyarnymi Mnogoobraziyami. Vestnik MEI. 2012;6:23—30. (in Russian).
12. Akhmed-Zaki D.K., Tungatarov A. About One System of First Order Partial Differential Equations with Singular Lines. Proc. IV Congress of the Turkic World Mathematical Soc. Azerbaijan, 2011:144.
13. Reissig M., Timofeev A. Dirichlet Problems for Generalized Cauchy–Riemann Systems with Singular Coefficients. Complex Variables. 2005;50;7 (11): 653—672.
14. Goluzin G.M. Geometric Theory of Functions of a Complex Variable. Providence: AMS, 1969. (in Russian).
---
For citation: Rasulov A.B., Fedorov Yu.S. Hilbert Type Problems for the Cauchy–Riemann Equation with a Singular Circuit in the Lowest Coefficients. Bulletin of MPEI. 2020;2:120—124. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2020-2-120-124.
Опубликован
2019-05-21
Раздел
Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (1.1.2)