Об одной нормальной краевой задаче теории поля

  • Юлий [Yuliy] Андреевич [A.] Дубинский [Dubinskii]
  • Анастасия [Anastasiya] Александровна [A.] Стасова [Stasova]
Ключевые слова: нормальная задача теории поля, краевая задача, система уравнений Пуассона, ядро оператора следа, функционал следа, нелокальность граничного условия, пространство Соболева

Аннотация

Настоящая работа посвящена исследованию одной нормальной задачи теории поля на плоскости для системы уравнений Пуассона.

Указанная задача является одной из реализаций общего подхода к формулированию краевых задач теории поля, основанного на изучении ядер операторов следа и ядер функционалов следа, принимаемых в качестве основного пространства искомых решений. Ее особенность состоит в нелокальности одного из граничных условий, налагаемых на искомое решение. Рассматриваемая нелокальность граничного условия обусловлена тем, что базовым пространством, в котором ищется решение задачи, является ядро регулярного функционала следа в пространстве Соболева. Возникающая при этом необходимость дополнения задачи на одномерном коядре указанного функционала определяет второе граничное условие, носящее локальный (точечный) характер. Именно поэтому, в рамках двойственности пространства Соболева и сопряженного к нему пространства, решением задачи является пара (u, с) где c – постоянная, компенсирующая одномерный «дефект» задачи.

Следует отметить, что теория краевых задач векторных полей на плоскости весьма отличается от теории краевых задач трехмерных векторных полей. Одной из причин затруднений при формулировании трехмерных краевых задач считается непараллелизуемость ряда важных поверхностей, что не позволяет рассматривать «тангенциальные» краевые задачи, т. е. задачи с граничными касательными полями. В этом отношении теория краевых задач плоских векторных полей отличается от трехмерной теории в лучшую сторону. С другой стороны, отсутствие на плоскости формулы связи оператора Лапласа с операциями теории поля первого порядка является препятствием для выявления новых нестандартных краевых задач для плоских полей. Выявление этой связи — отдельный вопрос, решение которого приводит к понятию следа операторов первого порядка теории поля как сингулярного функционала над пространством следов функций из пространства Соболева первого порядка. Таким образом, краевые задачи для плоских полей — отдельный раздел общей теории полевых краевых задач.

Рассмотрена одна из нестандартных задач теории плоских векторных полей, содержащая нелокальные краевые условия. Сформулирована и доказана теорема существования и единственности слабого решения поставленной задачи. Доказательство теоремы включает в себя несколько этапов:

  • с помощью метода Галеркина установлено существование решения уравнения;
  • выполнен предельный переход и найдена вектор-функция u(x);
  • определено число α и установлены единственности функции ???? и числа α.

Основной результат работы — корректность поставленной задачи.

Сведения об авторах

Юлий [Yuliy] Андреевич [A.] Дубинский [Dubinskii]

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического и компьютерного моделирования НИУ «МЭИ», e-mail: julii_dubinskii@mail.ru

Анастасия [Anastasiya] Александровна [A.] Стасова [Stasova]

студентка кафедры математического и компьютерного моделирования НИУ «МЭИ», e-mail: asya_stasova@mail.ru

Литература

1. Дубинский Ю.А. О ядрах функционалов следа и граничных задачах теории поля на плоскости // Труды математического института имени В.А. Стеклова. 2021. Т. 312. С. 150—161.
2. Дубинский Ю.А. О ядрах операторов следа и краевых задачах теории поля // Проблемы математического анализа. 2020. Вып. 106. С. 73—89.
3. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задачах // Доклады АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739—740.
4. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. Ч. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 26. С. 3—132.
5. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применения. М.: Наука, 2012.
6. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.
7. Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции // Современная математика. Фундаментальные направления. 2014. Т. 54. С. 3—138.
8. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1989.
9. Pyatkov S.G. Operator Theory of Nonclassical Problems. Utrecht, Boston, Köln, Tokyo: VSP, 2002.
10. Кожанов А.И. Краевые задачи для неклассических уравнений нечетного порядка. Новосибирск, НГУ, 1990.
11. Гущин А.К., Михайлов А.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сборник. 1991. № 185(1). С. 121—160.
12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
13. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996.
---
Для цитирования: Дубинский Ю.А., Стасова А.А. Об одной нормальной краевой задаче теории поля // Вестник МЭИ. 2022. № 6. С. 160—166. DOI: 10.24160/1993-6982-2022-6-160-166
---
Работа выполнена при поддержке: Российского научного фонда (грант № 19-11-00039)
#
1. Dubinskiy Yu.A. O Yadrakh Funktsionalov Sleda i Granichnykh Zadachakh Teorii Polya na Ploskosti. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V.A. Steklova. 2021;312:150—161. (in Russian).
2. Dubinskiy Yu.A. O Yadrakh Operatorov Sleda i Kraevykh Zadachakh Teorii Polya. Problemy Matematicheskogo Analiza. 2020;106:73—89. (in Russian).
3. Bitsadze A.V., Samarskiy A.A. O Nekotorykh Prosteyshikh Obobshcheniyakh Lineynykh Ellipticheskikh Kraevykh Zadachakh. Doklady AN SSSR. 1969;185;4: 739—740. (in Russian).
4. Skubachevskiy A.L. Neklassicheskie Kraevye Zadachi. Ch. I. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2007;26:3—132. (in Russian).
5. Nakhushev A.M. Nagruzhennye Uravneniya i Ikh Primeneniya. M.: Nauka, 2012. (in Russian).
6. Dezin A.A. Obshchie Voprosy Teorii Granichnykh Zadach. M.: Nauka, 1980. (in Russian).
7. Rossovskiy L.E. Ellipticheskie Funktsional'no-differentsial'nye Uravneniya so Szhatiem i Rastyazheniem Argumentov Neizvestnoy Funktsii. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2014;54:3—138. (in Russian).
8. Vragov V.N. Kraevye Zadachi dlya Neklassicheskikh Uravneniy Matematicheskoy Fiziki. Novosibirsk: Izd-vo NGU, 1989. (in Russian).
9. Pyatkov S.G. Operator Theory of Nonclassical Problems. Utrecht, Boston, Köln, Tokyo: VSP, 2002.
10. Kozhanov A.I. Kraevye Zadachi dlya Neklassicheskikh Uravneniy Nechetnogo Poryadka. Novosibirsk, NGU, 1990. (in Russian).
11. Gushchin A.K., Mikhaylov A.P. O Razreshimosti Nelokal'nykh Zadach dlya Ellipticheskogo Uravneniya Vtorogo Poryadka. Matem. sbornik. 1991;185(1):121—160. (in Russian).
12. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy Teorii Funktsiy i Funktsional'nogo Analiza. M.: Nauka, 1976. (in Russian).
13. Pugachev V.S. Lektsii po Funktsional'nomu Analizu. M.: Izd-vo MAI, 1996. (in Russian).
---
For citation: Dubinskii Yu.A., Stasova A.A. On One Normal Boundary Value Problem of the Field Theory. Bulletin of MPEI. 2022;6:160—166. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2022-6-160-166
---
The work is executed at support: Russian Science Foundation (Grant No. 19-11-00039)
Опубликован
2022-06-17
Раздел
Дифференциальные уравнения и математическая физика (1.1.2)