,

Задача инициализации для сингулярно возмущенного интегрального уравнения с диагональным вырождением ядра


Аннотация

Рассмотрено сингулярно возмущенное интегральное уравнение с диагональным вырождением ядра первого порядка, содержащее под знаком интеграла не только неизвестную функцию, но и производную от нее. Так же, как и в случае отсутствия производной под знаком интеграла, ставится задача о построении регуляризованного (по Ломову) асимптотического решения этой задачи и исследовании предельного перехода в ней при стремлении малого параметра к нулю на всем промежутке времени, включая и зону пограничного слоя (задача инициализации). В отличие от рассмотренного ранее случая, где положительность диагонального ядра и независимость интегрального оператора от производной неизвестной функции приводили к построению регуляризованной асимптотики лишь с быстро осциллирующими функциями, задача с производной допускает решения, асимптотика которых может содержать как быстро осциллирующие, так и быстро убывающие компоненты. Заметим, что аналогичная задача была изучена ранее лишь для интегродифференциального уравнения. В этом случае исходными данными для класса инициализации являются не только неоднородность и ядро интегрального оператора, но и начальный вектор. Это значительно облегчает исследование задачи инициализации. В случае же сингулярно возмущенного интегрального уравнения это не так, поэтому класс инициализации здесь будет «беднее», чем в интегродифференциальном случае. В качестве объекта для изучения предельного перехода берется главный член асимптотики в его регуляризованной (по Ломову) форме. Именно такая форма наиболее близка к точному решению рассматриваемой задачи и поэтому изучение главного члена асимптотики в его регуляризованной форме позволяет устранить те составляющие в точном решении, которые мешают стремлению решения к предельному. Все выкладки проведены для скалярного уравнения, но они будут справедливы и в векторном случае.


Ключевые слова

сингулярное возмущение, интегральное уравнение, диагональное вырождение, инициализация


Библиографический список

 1. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональным вырождением ядра // Дифференциальные уравнения. 2001.Т. 37. № 10. С. 1330—1341.

2. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Асимптотический анализ сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем с нулевым оператором дифференциальной части // Дифференциальные уравнения.2011. Т. 47. № 4. С. 519—536.

3. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во МГУ, 2011.

4. Сафонов В.Ф., Бободжанова М.А. Предельный переход в сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнениях с нулевым оператором дифференциальной части // Вестник МЭИ. 2006. № 6. С. 91—100.

5. Елисеев А.Г., Шапошникова Д.А. Асимптотика сингулярно возмущенного интегрального уравнения Вольтерра // Вестник МЭИ. 2010. № 6. С. 34—46.

DOI: 10.24160/1993-6982-2017-5-150-156

Для цитирования: Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Задача инициализации для сингулярно возмущенного интегрального уравнения с диагональным вырождением ядра // Вестник МЭИ. 2017. № 5. С. 150—156. DOI: 10.24160/1993-6982-2017-5-150-156.