Метод регуляризации для нелинейных интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами

  • Абдухафиз [Abdukhafiz] Абдурасулович [A.] Бободжанов [Bobodzhanov]
  • Машхура [Mashkhura] Абдухафизовна [A.] Бободжанова [Bobodzhanovа]
  • Валерий [Valeriy] Федорович [F.] Сафонов [Safonov]
Ключевые слова: сингулярно возмущенный, интегро-дифференциальные уравнения, регуляризация интеграла

Аннотация

Рассмотрено нелинейное интегродифференциальное уравнение с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами. Работа является продолжением исследований, проведенных ранее для одного быстро изменяющегося ядра. Основные идеи данного обобщения и тонкости, возникающие при разработке соответствующего алгоритма метода регуляризации, полностью просматриваются в случае двух быстро изменяющихся ядер, поэтому ради сокращения выкладок взят именно этот случай. Аналогичная задача с одним спектральным значением ядра интегрального оператора проанализирована в одной из работ авторов. В этом случае сингулярности в решении задачи описываются только спектральным значением ядра. Однако влияние нулевого оператора дифференциальной части сказывается на том, что в первом приближении асимптотика решения рассматриваемой задачи не будет содержать функций пограничного слоя, а сам предельный оператор станет вырожденным (но не нулевым). Условия разрешимости соответствующих итерационных задач, как и в линейном случае, будут иметь вид не дифференциальных (как это было в задачах с ненулевым оператором дифференциальной части), а интегро-дифференциальных уравнений, причем на формирование указанных уравнений существенную роль оказывает нелинейность. Отметим, что в отличие от линейного случая в правой части изучаемой задачи отсутствует неоднородность соответствующей линейной задачи. Как было показано ранее, наличие ее в задаче повлекло бы появление в асимптотическом решении членов с отрицательными степенями малого параметра, причем в нелинейном случае таких степеней оказалось бы бесчисленное множество, а соответствующее формальное асимптотическое решение имело бы вид ряда Лорана. Это сделало бы создание алгоритма асимптотических решений проблематичным, поэтому в настоящей работе, желая оставаться в рамках асимптотических решений типа рядов Тейлора, исключена неоднородность. Кроме того, в нелинейном случае могут возникнуть так называемые резонансы, которые значительно усложняют разработку соответствующего алгоритма метода регуляризации. В настоящей публикации рассматривается нерезонансный случай. Предполагается, что исследование альтернативного варианта (более сложной резонансной задачи) будет проведено в дальнейшем.

Сведения об авторах

Абдухафиз [Abdukhafiz] Абдурасулович [A.] Бободжанов [Bobodzhanov]

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики НИУ «МЭИ», e-mail: BobojanovA@mpei.ru

Машхура [Mashkhura] Абдухафизовна [A.] Бободжанова [Bobodzhanovа]

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики НИУ «МЭИ», e-mail: BobojanovaMA@mpei.ru

Валерий [Valeriy] Федорович [F.] Сафонов [Safonov]

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики НИУ «МЭИ», e-mail: SafonovVF@mpei.ru

Литература

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.
2. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные задачи и метод регуляризации. М.: Издат. дом МЭИ, 2012.
3. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во Московского ун-та им. М.В. Ломонсова, 2011.
4. Бободжанова М.А. Сингулярно возмущенные интегродифференциальные системы с нулевым оператором дифференциальной части // Вестник МЭИ. 2010. № 6. С. 63—72.
5. Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Асимптотический анализ сингулярно возмущенных интегродифференциальных систем с нулевым оператором дифференциальной части // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 4. С. 519—536.
6. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Интегральные уравнения Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 8. С. 53—78.
7. Бободжанова М.А. Обоснование алгоритма метода регуляризации для нелинейных интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части // Вестник МЭИ. 2011. № 6. C. 85—95.
8. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.
---
Для цитирования: Бободжанов А.А., Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Метод регуляризации для нелинейных интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами // Вестник МЭИ. 2021. № 3. С. 121—128. DOI: 10.24160/1993-6982-2021-3-121-128.
#
1. Lomov S.A. Vvedenie v Obshchuyu Teoriyu Singulyarnykh Vozmushcheniy. M.: Nauka, 1981. (in Russian).
2. Safonov V.F., Bobodzhanov A.A. Kurs Vysshey Matematiki. Singulyarno Vozmushchennye Zadachi i Metod Regulyarizatsii. M.: Izdat. Dom MEI, 2012. (in Russian).
3. Lomov S.A., Lomov I.S. Osnovy Matematicheskoy Teorii Pogranichnogo Sloya. M.: Izd-vo Moskovskogo Un-ta im. M.V. Lomonsova, 2011. (in Russian).
4. Bobodzhanova M.A. Singulyarno Vozmushchennye Integrodifferentsial'nye Sistemy s Nulevym Operatorom Differentsial'noy Chast. Vestnik MEI. 2010;6:63—72. (in Russian).
5. Bobodzhanova M.A., Safonov V.F. Asimptoticheskiy Analiz Singulyarno Vozmushchennykh Integrodifferentsial'nykh Sistem s Nulevym Operatorom Differentsial'noy Chasti. Differentsial'nye Uravneniya. 2011;47;4:519—536. (in Russian).
6. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Integral'nye Uravneniya Vol'terra s Bystro Izmenyayushchimisya Yadrami i Ikh Asimptoticheskoe Integrirovanie. Matematicheskiy Sbornik. 2001;192;8:53—78. (in Russian).
7. Bobodzhanova M.A. Obosnovanie Algoritma Metoda Regulyarizatsii dlya Nelineynykh Integrodifferentsial'nykh Uravneniy s Nulevym Operatorom Differentsial'noy Chast. Vestnik MEI. 2011;6:85—95. (in Russian).
8. Amosov A.A., Dubinskiy Yu.A., Kopchenova N.V. Vychislitel'nye Metody dlya Inzhenerov. M.: Vysshaya Shkola, 1994. (in Russian).
---
For citation: Bobodzhanov A.A., Bobodzhanova M.A., Safonov V.F. A Regularization Method for Nonlinear Integro-differential Equations with a Zero Operator of the Differential Part and with Several Rapidly Varying Kernels. Bulletin of MPEI. 2021;3:121—128. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2021-3-121-128.
Опубликован
2020-03-16
Раздел
Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление (01.01.02)