Аналитическое моделирование нагружения балочной фермы регулярного типа

Аннотация

Предложена схема статически определимой плоской фермы со сложной решеткой. Конструкция фермы включает две опоры: подвижный и неподвижный шарниры. Рассмотрено загружение верхнего пояса фермы равномерной нагрузкой. Предполагается, что жесткости стержней поясов и решетки разные. Введен безразмерный параметр перераспределения жесткостей. Поставлена и решена задача определения прогиба фермы в зависимости от размеров фермы, нагрузки и числа панелей. В отличие от стандартных балочных ферм с параллельными поясами и решетками треугольного типа в исследуемой ферме невозможен расчет усилия в отдельном стержне или группе стержней независимо от других. В любом случае расчет усилий требует анализа системы уравнений равновесия всех узлов. Это вызывает особенные трудности при расчете ферм с большим числом панелей, где численные методы неэффективны в связи с известным «проклятием размерности», приводящим к накоплению погрешности вычислений. Для преодоления возникающих проблем предложено использовать метод индукции с привлечением системы компьютерной математики Maple. Прогиб определяли по формуле Максвелла – Мора в предположении упругой работы стержней. В результате анализа последовательности решений для 16 ферм с различным числом панелей была выведена общая формула для прогиба. Для решения привлекались операторы rgf_findrecur и rsolve из пакета рекуррентных уравнений genfunc системы Maple. Отмечены некоторые ее особенности. Обнаружен минимум на кривой зависимости прогиба от высоты фермы. Показано, что существует критическое значение высоты фермы, ниже которой перераспределение жесткостей поясов в пользу нижнего приводит к уменьшению прогиба, а выше — к увеличению. Найдена предельная характеристика зависимости прогиба от числа панелей, согласно которой рост прогиба имеет кубический характер. Из анализа полученного решения следует также, что при определенных сочетаниях размеров фермы независимо от нагрузки и числа панелей определитель системы линейных уравнений обращается в нуль.