Об одном р-адическом представлении чисел с плавающей точкой
DOI:
https://doi.org/10.24160/1993-6982-2025-6-179-188Ключевые слова:
р-адические числа, числа с плавающей точкой, коды Гензеля, ультраметрическая норма, погрешности округленияАннотация
Цель настоящей работы — разработка и исследование подхода, основанного на р-адических числах для задач, где традиционная арифметика с плавающей точкой демонстрирует потерю точности, в частности, при вычислениях с числами различных порядков и вычитании чисел, близких друг другу по величине.
Методология работы основана на теоретическом анализе р-адического представления чисел с плавающей точкой и теоретическом и экспериментальном исследовании его поведенческих свойств при ограниченной точности.
Для р-адического представления на основе кодов Гензеля представлены формулы для оценки диапазона представимых рациональных чисел и точности представления в зависимости от параметров р-адического представления (числа р, длины мантиссы r). Рассмотрены особенности р-адического представления чисел, в частности, то, что округление проходит без искажения младших разрядов благодаря направлению переноса при поразрядных операциях. Результаты экспериментов, проведенные в среде SageMath, показали, что р-адическая арифметика при вычислении скалярного произведения векторов с сильно отличающимися координатами обеспечивает получение точного результата, тогда как стандартная арифметика с плавающей точкой демонстрирует резкую потерю точности. Теоретически показано, что если одна из двух норм разности двух чисел с плавающей точкой, близких друг другу, по величине меньше единицы (вещественная или р-адическая), то другая больше единицы, что позволяет автоматически выбрать более точный результат при вычитании близких по величине чисел и снизить риск потери точности.
Различие в топологии р-адического представления по сравнению с вещественными числами позволяет использовать это представление, как дополнительный механизм уточнения результатов при вычитании чисел близких друг другу по величине или при операциях с числами различных порядков.
Библиографические ссылки
1. Оцоков Ш. А., Дзегеленок И. И. Машинная арифметика и направления её развития. М.: Изд-во МЭИ, 2022.
2. Caruso X., Roe D., Vaccon T. Computations with P-adic Numbers // J. Symbolic Computation. 2017. V. 81. Pp. 205—219.
3. Maddock C. P-Adic Numbers: Theory and Applications. Boston: Henderson Mathematical Institute Publ., 2024.
4. Katok S. P-Adic Analysis Compared with Real. N.-Y.: Providence: American Math. Soc., 2007.
5. Schikhof W.H. Ultrametric Calculus: an Introduction to P-Adic Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.
6. Doris C. Exact P-Adic Computation in Magma // J. Symbolic Computation. 2021. V. 104. Pp. 476—493.
7. Pan V. Y., Murphy B., Rosholt R. Toeplitz and Hankel Matrices Meet Hensel Lifting. Technical Rep. TR-2005008. N.-Y.: City University of New York, 2005.
8. Robert A. M. A Course in P-adic Analysis. New York: Springer, 2000.
9. Cohen H. A Course in Computational Algebraic Number Theory. Berlin: Springer, 1993.
10. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления: методы и приложения. М.: Мир, 1988.
11. Zerzaihi M., Kecies M., Knapp J. Computation of Square and Cube Roots of P-Adic Numbers via Newton-Raphson Method // J. Mathematics Research. 2013. V. 5(1). Pp. 1—8.
12. Волович И. В., Козырев С. В. p-адическая математическая физика: основные конструкции, применения к сложным и наноскопическим системам // Математическая физика и её приложения. 2008. № 1. С. 1—36.
13. Hao J. The development of P-adic Numbers Theoretically and Their Use in Number Theory // Theoretical and Natural Sci. 2023. V. 25(1). Pp. 73—77.
14. Знакомство с p-адическими числами. Ч. 1 [Электрон. ресурс] https://habr.com/ru/articles/645939/ (дата обращения 08.05.2025).
15. Koç Ç. K. Parallel P-adic Method for Solving Linear Systems of Equations // Parallel Computing. 1997. V. 23(13). Pp. 2067—2074.
16. SageMath Documentation: P-adic Numbers (Version 10.6) [Электрон. ресурс] https://doc.sagemath.org/html/en/reference/padics/index.html (дата обращения 08.05.2025).
17. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1965.
18. Kettner L. e. a. Class-room Examples of Robustness Problems in Geometric Computations // Algorithms – ESA. Lecture Notes in Computer Science. Berlin: Springer, 2004. V. 3221.
19. Орлов Д.А. Организация многопотоковой обработки данных с исключением аномалий при решении задач вычислительной геометрии: дис. … канд. техн. наук. М.: НИУ «МЭИ», 2010.
---
Для цитирования: Оцоков Ш.А., Мишин А.А., Сурхаев М.А. Об одном р-адическом представлении чисел с плавающей точкой // Вестник МЭИ. 2025. № 6. С. 179—188. DOI: 10.24160/1993-6982-2025-6-179-188
---
Конфликт интересов: авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов
#
1. Otsokov Sh. A., Dzegelenok I. I. Mashinnaya Arifmetika i Napravleniya ee Razvitiya. M.: Izd-vo MEI, 2022. (in Russian).
2. Caruso X., Roe D., Vaccon T. Computations with P-adic Numbers. J. Symbolic Computation. 2017; 81:205—219.
3. Maddock C. P-Adic Numbers: Theory and Applications. Boston: Henderson Mathematical Institute Publ., 2024.
4. Katok S. P-Adic Analysis Compared with Real. N.-Y.: Providence: American Math. Soc., 2007.
5. Schikhof W.H. Ultrametric Calculus: an Introduction to P-Adic Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.
6. Doris C. Exact P-Adic Computation in Magma. J. Symbolic Computation. 2021;104:476—493.
7. Pan V. Y., Murphy B., Rosholt R. Toeplitz and Hankel Matrices Meet Hensel Lifting. Technical Rep. TR-2005008. N.-Y.: City University of New York, 2005.
8. Robert A. M. A Course in P-adic Analysis. New York: Springer, 2000.
9. Cohen H. A Course in Computational Algebraic Number Theory. Berlin: Springer, 1993.
10. Gregori R., Krishnamurti E. Bezoshibochnye Vychisleniya: Metody i Prilozheniya. M.: Mir, 1988. (in Russian).
11. Zerzaihi M., Kecies M., Knapp J. Computation of Square and Cube Roots of P-Adic Numbers via Newton-Raphson Method. J. Mathematics Research. 2013;5(1):1—8.
12. Volovich I. V., Kozyrev S. V. P-adicheskaya Matematicheskaya Fizika: Osnovnye Konstruktsii, Primeneniya k Slozhnym i Nanoskopicheskim Sistemam. Matematicheskaya Fizika i ee Prilozheniya. 2008;1:1—36. (in Russian).
13. Hao J. The Development of P-adic Numbers Theoretically and Their Use in Number Theory. Theoretical and Natural Sci. 2023;25(1):73—77.
14. Znakomstvo s P-adicheskimi Chislami. Ch. 1 [Elektron. Resurs] https://habr.com/ru/articles/645939/ (Data Obrashcheniya 08.05.2025). (in Russian).
15. Koç Ç. K. Parallel P-adic Method for Solving Linear Systems of Equations. Parallel Computing. 1997;23(13):2067—2074.
16. SageMath Documentation: P-adic Numbers (Version 10.6) [Elektron. Resurs] https://doc.sagemath.org/html/en/reference/padics/index.html (Data Obrashcheniya 08.05.2025).
17. Mak-Kraken D., Dorn U. Chislennye Metody i Programmirovanie na Fortrane. M.: Mir, 1965. (in Russian).
18. Kettner L. e. a. Class-room Examples of Robustness Problems in Geometric Computations. Algorithms – ESA. Lecture Notes in Computer Science. Berlin: Springer, 2004;3221.
19. Orlov D.A. Organizatsiya Mnogopotokovoy Obrabotki Dannykh s Isklyucheniem Anomaliy pri Reshenii Zadach Vychislitel'noy Geometrii: Dis. … Kand. Tekhn. Nauk. M.: NIU «MEI», 2010. (in Russian)
---
For citation: Otsokov Sh.A., Mishin A.A., Surkhaev M.A. About One p-adic Representation of Floating-point Numbers. Bulletin of MPEI. 2025;6:179—188. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2025-6-179-188
---
Conflict of interests: the authors declare no conflict of interest
