Об оценке устойчивости линейных систем через модификацию классического частотного критерия устойчивости
DOI:
https://doi.org/10.24160/1993-6982-2026-1-128-134Ключевые слова:
устойчивость, критерий Михайлова, частотные методыАннотация
Одним из ключевых вопросов теории управления является устойчивость. Для анализа устойчивости разработана особая группа методов — частотные критерии устойчивости. Базируются они на принципе аргумента, связывающем порядок характеристического уравнения исходной системы с изменениями фазы комплексной функции, полученной путём перевода данного характеристического уравнения в частотную область. Универсальным среди частотных критериев является критерий Михайлова, позволяющий при построении годографа всей комплексной функции определить её устойчивость. Однако, критерий Михайлова, будучи буквально графической реализацией принципа аргумента, используется только для анализа изменения фазы, следовательно, представляется интересным сократить необходимые для анализа устойчивости расчёты.
В настоящей работе рассмотрена альтернатива критерию Михайлова — мнимо-действительная характеристика (МДХ), позволяющая проводить ровно тот же анализ изменения фазы, но уже не через построение полноценного годографа Михайлова, а лишь через построение графика отношения мнимой составляющей исходной комплексной функции к действительной. Приведены доказательства, что МДХ полностью отражает каждое требование критерия Михайлова, а значит, также пригодна для оценки устойчивости. Даны границы применимости МДХ и требования, при соответствии которым систему можно определить, как устойчивую.
Области применения МДХ те же, что и у классического критерия Михайлова, за тем лишь исключением, что МДХ при неменьшей информативности более компактна и удобна для реализации.
Библиографические ссылки
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004.
3. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Едиториал УРСС, 2004.
4. Ляшенко А.Л. Применение критерия Михайлова для оценки устойчивости нелинейных систем с распределёнными параметрами // Актуальные проблемы инфотелекоммуникаций в науке и образовании: Материалы IV Междунар. науч.-техн. и научно-методической конф. СПб.: Санкт-Петербургский гос. ун-т телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 2015. С. 534—538.
5. Авсиевич А.В. Модификация критерия устойчивости Михайлова для анализа моделей автоматического управления с нецелыми показателями // Мехатроника, автоматизация и управление на транспорте: Материалы II Всерос. науч.-практ. конф. Самара: Самарский гос. ун-т путей сообщения, 2020. С. 7—12.
6. Melchor-Aguilar D., Mendiola-Fuentes J. Mikhailov Stability Criterion for Fractional Commensurate Order Systems with Delays // J. Franklin Institute. 2022. V. 359(1). Pp. 8395—8408.
7. Thai Ha Duc, Hoang The Tuan. Modified Mikhailov Stability Criterion for Non-commensurate Fractional-order Neutral Differential Systems with Delays // J. Franklin Institute. 2024. V. 362(1). P. 107384.
8. Шелуденко А.С., Филер З.Е. Методы финитизации критерия Михайлова // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. 2015. Т. 3. № 7—3(18—3). С. 215—219.
9. Keel L., Bhattacharyya S.P. A Generalization of Mikhailov's Criterion with Applications // Proc. American Control Conf. 2000. V. 6. P. 4311—4315.
10. Михайлов А.В. Метод гармонического анализа в теории регулирования // Автоматика и телемеханика. 1938. № 3. С. 27—81.
---
Для цитирования: Вершинин Д.В., Кулешов В.В., Се Ю., Юрасов А.О. Об оценке устойчивости линейных систем через модификацию классического частотного критерия устойчивости // Вестник МЭИ. 2026. № 1. С. 128—134. DOI: 10.24160/1993-6982-2026-1-128-134.
#
1. Lyapunov A.M. Obshchaya Zadacha ob Ustoychivosti Dvizheniya. Izd-vo Tekhniko-teoreticheskoy Lit-ry, 1950. (in Russian).
2. Gantmakher F.R. Teoriya Matrits. M.: Fizmatlit, 2004. (in Russian).
3. Postnikov M.M. Ustoychivye Mnogochleny. M.: Editorial URSS, 2004. (in Russian).
4. Lyashenko A.L. Primenenie Kriteriya Mikhaylova dlya Otsenki Ustoychivosti Nelineynykh Sistem s Raspredelennymi Parametrami. Aktual'nye Problemy Infotelekommunikatsiy v Nauke i Obrazovanii: Materialy IV Mezhdunar. Nauch.-tekhn. i Nauchno-metodicheskoy Konf. SPb.: Sankt-Peterburgskiy Gos. Un-t Telekommunikatsiy im. Prof. M.A. Bonch-Bruevicha, 2015:534—538. (in Russian).
5. Avsievich A.V. Modifikatsiya Kriteriya Ustoychivosti Mikhaylova dlya Analiza Modeley Avtomaticheskogo Upravleniya s Netselymi Pokazatelyami. Mekhatronika, Avtomatizatsiya i Upravlenie na Transporte: Materialy II Vseros. Nauch.-prakt. Konf. Samara: Samarskiy Gos. Un-t Putey Soobshcheniya, 2020:7—12. (in Russian).
6. Melchor-Aguilar D., Mendiola-Fuentes J. Mikhailov Stability Criterion for Fractional Commensurate Order Systems with Delays. J. Franklin Institute. 2022;359(1):8395—8408.
7. Thai Ha Duc, Hoang The Tuan. Modified Mikhailov Stability Criterion for Non-commensurate Fractional-order Neutral Differential Systems with Delays. J. Franklin Institute. 2024;362(1):107384.
8. Sheludenko A.S., Filer Z.E. Metody Finitizatsii Kriteriya Mikhaylova. Aktual'nye Napravleniya Nauchnykh Issledovaniy XXI Veka: Teoriya i Praktika. 2015;3;7—3(18—3):215—219. (in Russian).
9. Keel L., Bhattacharyya S.P. A Generalization of Mikhailov's Criterion with Applications. Proc. American Control Conf. 2000;6:4311—4315.
10. Mikhaylov A.V. Metod Garmonicheskogo Analiza v Teorii Regulirovaniya. Avtomatika i Telemekhanika. 1938;3:27—81. (in Russian)
---
For citation: Vershinin D.V., Kuleshov V.V., Xie Yu., Yurasov A.O. On Assessing the Stability of Linear Systems through Modifying the Classical Frequency Stability Criterion. Bulletin of MPEI. 2026;1:128—134. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2026-1-128-134.
