О гладкости параболического потенциала простого слоя с Дини-непрерывной плотностью

Аннотация

Одним из классических методов решения начально-краевых задач для параболических уравнений является метод потенциалов. Решение задачи в этом случае ищется в виде параболических потенциалов, построенных с помощью фундаментального решения уравнения. В случае нецилиндрических областей с негладкими боковыми границами наибольший интерес представляет параболический потенциал простого слоя, позволяющий получать точные результаты с точки зрения гладкости при минимальных требованиях на коэффициенты уравнения, боковую границу области и функции из граничных условий, поэтому важно исследовать свойства этого потенциала.

Исследована гладкость параболического потенциала простого слоя, ядром которого служит фундаментальное решение многомерного равномерно параболического уравнения второго порядка с вещественными коэффициентами. Предполагается, что коэффициенты уравнения ограничены и равномерно непрерывны с модулем непрерывности, удовлетворяющим двойному условию Дини. Данный потенциал рассмотрен в полуограниченной пространственной области с негладкой, вообще говоря, по временной переменной боковой границей из класса Дини–Гельдера. Плотность потенциала ограничена и Дини-непрерывна на боковой границе области (поверхности-носителе плотности) с модулем непрерывности, удовлетворяющим условию Дини.

Установлены оценки в классе Дини для указанного потенциала и его пространственных производных первого порядка, а также для их приращений по временной и пространственным переменным. Для доказательства использовано представление фундаментального решения параболического уравнения, построенного методом Леви. Полученные оценки могут быть необходимы при исследовании разрешимости и гладкости решений начально-краевых задач для параболических уравнений второго порядка с Дини-непрерывными коэффициентами.