Аппроксимации стационарной задачи радиационно-кондуктивного теплообмена в системе стержней круглого сечения

Аннотация

Особый интерес представляет изучение процесса переноса теплоты в периодических средах, содержащих вакуумные прослойки или полости, через которые перенос теплоты осуществляется посредством излучения. Непосредственное численное решение таких задач сопряжено с значительными вычислительными затратами и становится практически нереальным при большом числе теплопроводящих элементов, особенно для двумерных и трехмерных структур. Поэтому актуальным является построение эффективных приближенных методов решения. Настоящая статья продолжает серию работ, посвященных построению и обоснованию специальных полудискретных и асимптотических аппроксимаций задач радиационно-кондуктивного теплообмена в периодических системах теплопроводящих элементов, разделенных вакуумом. В данном случае для стационарной задачи радиационно-кондуктивного теплообмена в периодической системе, состоящей из абсолютно черных теплопроводящих стержней круглого сечения радиусом ε, упакованных в квадратную коробку, предложены приближенные методы решения, основанные на специальных дискретной и асимптотической аппроксимациях исходной задачи. Приведены результаты вычислительных экспериментов, позволяющие сделать выводы о работоспособности методов и характере зависимости их относительных погрешностей от коэффициента теплопроводности λ и радиуса стержней ε. Искомой величиной считается абсолютная температура. Она является решением краевой задачи для стационарного уравнения теплопроводности с нелинейными нелокальными интрегральными условиями, описывающими теплообмен излучением между стержнями. В предположении, что значение температуры на каждом из стержней приближенно равно среднему по сечению значению, строится дискретная аппроксимация задачи, представляющая собой систему линейных алгебраических уравнений относительно четвертой степени температуры. Поскольку матрица системы симметрична и положительно определена, то для ее численного решения можно использовать метод сопряженных градиентов. По своей структуре дискретная задача такова, что может рассматриваться как разностная аппроксимация гомогенизированной краевой задачи для уравнения Пуассона с нестандартными краевыми условиями. Эта задача линейна относительно четвертой степени температуры. Проведена серия вычислительных экспериментов, которая подтверждает работоспособность предложенных методов для материалов с большим коэффициентом теплопроводности. Относительные погрешности методов стремятся к нулю при стремлении параметра ε к нулю. Как и следовало ожидать, при фиксированном значении ε относительные погрешности методов убывают с ростом значения коэффициента теплопроводности λ, достигая значений в десятые доли процента, и оба метода оказываются практически непригодными для плохо проводящих материалов и требуют существенной модификации.