Задача инициализации для сингулярно возмущенного интегрального уравнения с диагональным вырождением ядра

Аннотация

Рассмотрено сингулярно возмущенное интегральное уравнение с диагональным вырождением ядра первого порядка, содержащее под знаком интеграла не только неизвестную функцию, но и производную от нее. Так же, как и в случае отсутствия производной под знаком интеграла, ставится задача о построении регуляризованного (по Ломову) асимптотического решения этой задачи и исследовании предельного перехода в ней при стремлении малого параметра к нулю на всем промежутке времени, включая и зону пограничного слоя (задача инициализации). В отличие от рассмотренного ранее случая, где положительность диагонального ядра и независимость интегрального оператора от производной неизвестной функции приводили к построению регуляризованной асимптотики лишь с быстро осциллирующими функциями, задача с производной допускает решения, асимптотика которых может содержать как быстро осциллирующие, так и быстро убывающие компоненты. Заметим, что аналогичная задача была изучена ранее лишь для интегродифференциального уравнения. В этом случае исходными данными для класса инициализации являются не только неоднородность и ядро интегрального оператора, но и начальный вектор. Это значительно облегчает исследование задачи инициализации. В случае же сингулярно возмущенного интегрального уравнения это не так, поэтому класс инициализации здесь будет «беднее», чем в интегродифференциальном случае. В качестве объекта для изучения предельного перехода берется главный член асимптотики в его регуляризованной (по Ломову) форме. Именно такая форма наиболее близка к точному решению рассматриваемой задачи и поэтому изучение главного члена асимптотики в его регуляризованной форме позволяет устранить те составляющие в точном решении, которые мешают стремлению решения к предельному. Все выкладки проведены для скалярного уравнения, но они будут справедливы и в векторном случае.