О модели изотермической акустики для двухкомпонентной среды
Аннотация
Исследована математическая модель, описывающая процессы изотермической акустики в гетерогенной среде с двумя компонентами, разделенными общей границей. Один из компонентов является упругим телом, другой — пороупругой средой (это может быть насыщенный жидкостью грунт). Пороупругая среда пронизана системой пор, заполненных вязкой слабосжимаемой жидкостью. Дифференциальные уравнения модели, описывающие движение упругого тела и совместное движение твердого скелета и жидкости в порах, базируются на классических законах механики сплошной среды и адекватно отражают физические процессы. Однако они содержат быстро осциллирующие коэффициенты, зависящие от малого параметра, равного отношению среднего размера пор к размеру рассматриваемой области. Подобные коэффициенты делают невозможным применение модели для численных расчетов. Дано обобщенное решение начально-краевой задачи, приведена теорема существования и единственности обобщенного решения и его априорные оценки. Для проведения процедуры гомогенизации допускается стандартное предположение о периодичности порового пространства и твердого скелета. На основе полученных априорных оценок и метода двухмасштабной сходимости Г. Нгуетсенга выведены усредненные уравнения и начально-краевые условия (предельные при стремлении малого параметра к нулю). В зависимости от характеристик сплошной среды получены различные предельные режимы. Представлена усредненная модель для специального случая, которая не содержит быстро осциллирующих коэффициентов и может служить для численных расчетов.
Литература
2. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.
3. Шамаев А.С., Шумилова В.В. Усреднение уравнений акустики для частично перфорированного упругого материала со слабовязкой жидкостью // Журнал Сибирского федерального ун-та. Серия «Математика и физика». 2015. Т. 8. № 3. С. 356—370.
4. Жиков В.В., Иосифьян Г.А. Введение в теорию двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2013. Т. 29. С. 281—332.
5. Burridge R., Keller J.B. Poroelasticity Equations Derived from Micro-structure // J. Acoust. Soc. Am. 1981. V. 70. No. 4. Pp. 1140—1146.
6. Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous Media and Vibration Theory // Lecture Notes in Physics. Berlin: Springer, 1980. V. 129.
7. Nguetseng G. A General Convergence Result for a Functional Related to the Theory of Homogenization // SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20. Pp. 608—623.
8. Nguetseng G. Asymptotic Analysis for a Stiff Variational Problem Arising in Mechanics // SIAM J. Math. Anal. 1990. V. 21. Pp.1394—1414.
9. Lukkassen D., Nguetseng G., Wall P. Two-scale Convergence // Int. J. Pure and Appl. Math. 2002. V. 2. No. 1. Pp. 35—86.
10. Мейрманов А.M. Уравнения акустики в упругих пористых средах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. XIII. № 2. C. 98—110.
11. Meirmanov A.M. Derivation of Equations of Seismic and Acoustic Wave Propagation and Equations of Filtration Via Homogenization of Periodic Structures // J. Math. Sci. 2009. V. 163. No. 2. Pp. 111—172.
12. Мейрманов А.М., Герус А.А., Гриценко С.А. Усредненные модели изотермической акустики в конфигурации упругое тело — пороупругая среда // Математическое моделирование. 2016. Т. 28. № 12. С. 3—19.
13. Conca C. On the Application of the Homogenization Theory to a Class of Problems Arising in Fluid Mechanics // Math. Pures et Appl. 1985. V. 64. Pp. 31—75.
---
Для цитирования: Гриценко С.А., Мейрманов А.М. О модели изотермической акустики для двухкомпонентной среды // Вестник МЭИ. 2017. № 6. С. 146—151. DOI: 10.24160/1993-6982-2017-6-146-151.
#
1. Bahvalov N.S., Panasenko G.P. Osrednenie Protsessov v Periodicheskih Sredah. Matematicheskie Zadachi Mekhaniki Kompozitsionnyh Materialov. M.: Nauka, 1984. (in Russian).
2. Zhikov V.V., Kozlov S.M., Oleynik O.A. Usrednenie Differentsial'nyh Operatorov. M.: Nauka, 1993. (in Russian).
3. Shamaev A.S., Shumilova V.V. Usrednenie Uravneniy Akustiki dlya Chastichno Perforirovannogo Uprugogo Materiala so Slabovyazkoy Zhidkost'yu. Zhurnal Sibirskogo Federal'nogo Un-ta. Seriya «Matematika i Fizika». 2015;8;3:356—370. (in Russian).
4. Zhikov V.V., Iosif'yan G.A. Vvedenie v Teoriyu Dvuhmasshtabnoy Skhodimosti. Trudy Seminara im. I.G. Petrovskogo. 2013;29:281—332. (in Russian).
5. Burridge, R., Keller, J.B. Poroelasticity Equations Derived from Micro-structure. J. Acoust. Soc. Am. 1981;70;4:1140—1146.
6. Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous Media and Vibration Theory. Lecture Notes in Physics. Berlin: Springer, 1980;129.
7. Nguetseng G. A General Convergence Result for a Functional Related to the Theory of Homogenization. SIAM J. Math. Anal. 1989;20:608—623.
8. Nguetseng G. Asymptotic Analysis for a Stiff Variational Problem Arising in Mechanics. SIAM J. Math. Anal. 1990;21:1394—1414.
9. Lukkassen D., Nguetseng G., Wall P. Two-scale Convergence. Int. J. Pure and Appl. Math. 2002;2;1:35—86.
10. Meyrmanov A.M. Uravneniya Akustiki v Uprugih Poristyh Sredah. Sibirskiy Zhurnal Industrial'noy Matematiki. 2010;XIII;2:98—110. (in Russian).
11. Meirmanov A.M. Derivation of Equations of Seismic and Acoustic Wave Propagation and Equations of Filtration Via Homogenization of Periodic Structures. J. Math. Sci. 2009;163;2:111—172.
12. Meyrmanov A.M., Gerus A.A., Gritsenko S.A. Usrednennye Modeli Izotermicheskoy Akustiki v Konfiguratsii Uprugoe Telo — Porouprugaya Sreda. Matematicheskoe Modelirovanie. 2016;28;12:3—19. (in Russian).
13. Conca C. On the Application of the Homogenization Theory to a Class of Problems Arising in Fluid Mechanics. Math. Pures et Appl. 1985;64:31—75.
---
For citation: Gritsenko S.A., Meirmanov A.M. On the Model of Isothermal Acoustics for a Two-Component Medium. MPEI Vestnik. 2017; 6:146—151. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2017-6-146-151.
