Целые функции с определенными арифметическими свойствами

Аннотация

Исследованы целые функции, значения которых в точках некоторого дискретного множества обладают определенными арифметическими свойствами. При всяком неотрицательном числе p определен класс F(p), состоящий из всех целых функций, обладающих следующими свойствами: логарифм максимума модуля каждой из функций на круге радиуса R не превосходит R в степени p (при достаточно больших R); для каждой функции из F(p) существует сектор с центром в нуле, внутри которого функция не обращается в нуль ни в одной точке; в точках некоторой двумерной комплексной решетки (общего вида) функция из F(p) примет значение из кольца целых некоторого поля алгебраических чисел K, являющегося конечным расширением поля рациональных чисел, причем логарифмы высот значений функции в точках решетки, лежащих внутри круга радиусом R (с центром в нуле), не превосходят R в степени p (при достаточно больших R). Описана структура классов F(p) при p, лежащем в отрезке с концами из единицы и квадратного корня из двух. Показано, что любая функция из такого класса является либо многочленом, либо представляет собой рациональную функцию специального вида (отношение многочлена и монома) от одной или двух экспонент с коэффициентами, принадлежащими некоторому полю, — конечному расширению поля K. Для получения функциональных уравнений использован классический метод Гельфонда. При нахождении целых решений полученных функциональных уравнений использована созданная авторами новая техника сравнения близких значений целых функций конечного порядка.