Аналитическая задача Коши в классе функций с интегральной метрикой по пространственной и временной переменным

Аннотация

Представлена комплексная задача Коши для общих систем линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах Лебега с весом аналитических функций с интегральными метриками. Функции из пространств решений могут допускать особенности степенного характера в интегральном смысле при подходе к боковой границе конуса. Получены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых поставленная задача Коши является локально корректной в заданной шкале функциональных пространств. Оказывается, что эти условия на порядки дифференциальных операторов в случае распространения особенностей у решений по боковой границе конуса в точности совпадают с условиями Лере – Волевича, а для случая одного уравнения с неравенствами Ковалевской являются менее ограничительными, чем в случае распространения особенностей у решения по боковой поверхности цилиндра. Таким образом, неравенства дают либо точное описание структуры систем линейных дифференциальных уравнений, для которых задача Коши будет локально корректной в заданном классе, либо описание шкалы функциональных пространств, в которой локально корректна заданная задача Коши. В процессе доказательства основной теоремы получены новые леммы об интегральных свойствах аналитических функций, которые, возможно, имеют самостоятельный интерес для теории функции комплексного переменного. Данные леммы показывают оценку нормы производной аналитической функции через норму самой функции, а оценку нормы интеграла с параметром от аналитической функции — через норму исходной функции и другие свойства.