Формирование периодических колебаний несинусоидальной формы с ангармонизмом обертонов

Аннотация

Проанализированы затухающие изгибные колебания высокодобротной струны с закрепленными концами. На основе модели тонкой упругой однородной струны с электромагнитным преобразователем механических колебаний в электрический сигнал звукоснимателя, расположенного вблизи струны, представлено волновое уравнение второго порядка в частных производных по времени и координате вдоль струны, учитывающее упругие свойства материала струны, ее длину, натяжение и затухание, величину и место возбуждения, а также расположение звукоснимателя относительно струны. Решение в зависимости от времени выглядит в виде ряда по высшим гармоникам (обертонам) колебаний основного тона. Показано, что свободные колебания имеют несинусоидальную форму, медленно меняющуюся в переходном процессе. При этом необходим учет нескольких десятков обертонов сопоставимой амплитуды. Установлено, что колебания характеризуются ангармонизмом обертонов, проявляющимся в прогрессивном увеличении собственной частоты обертона с ростом его номера по сравнению со значением, целым кратным частоте основного тона. В незатухающем процессе происходит периодическая вариация формы несущего колебания, а в процессе затухания исходная несинусоидальная форма колебания приближается к гармонической. Для измерения количественных параметров процесса использованы калиброванные массивы записей звучания около 100 струн профессионального рояля в интервале значений частоты основного тона, превышающего 5 октав. Установлено, что эквивалентная добротность таких колебательных систем изменяется от нескольких сотен до нескольких тысяч. Для определения значения параметра ангармонизма использован метод модифицированного кепстрального преобразования. Суть модификации состоит в поиске калиброванного предыскажения частотной оси после первого спектрального преобразования массива отсчетов процесса во времени, при котором происходит наилучшая локализация кепстрального отклика в области репиодов. Измерения значений параметра ангармонизма для упомянутого массива записей показали, что его значения составляют от сотых долей до нескольких процентов в зависимости от сочетания параметров колебательной системы. Наличие десятков высших обертонов с проявлениями ангармонизма, распространяющимися вдоль колебательной системы с различной скоростью, приводит к заметным периодическим вариациям формы и размаха процесса, в том числе, в случае незатухающего колебания. Полученные результаты могут быть использованы для повышения качества электронных синтезаторов квазипериодических сигналов, приближая структуру колебания и звучание музыкального синтезатора к получаемым в дорогостоящих натуральных инструментах. Разработана и внедрена в учебный процесс лабораторная работа, в которой синтезируется рассмотренное квазипериодическое колебание распределенной высокодобротной колебательной системы с ангармонизмом обертонов и проводится кепстральный анализ полученных сигналов.