Адаптивная процедура вычисления двукратных интегралов

Аннотация

Адаптивная процедура численного интегрирования широко известна, когда подынтегральная функция есть функция одного переменного. Задача численного интегрирования в многомерных областях куда менее освещена, особенно, когда речь идет о разработке адаптивных процедур. Рассмотрена задача вычисления двойных интегралов с заданной точностью, простроена адаптивная процедура и описана ее эффективная рекурсивная реализация методом объектно-ориентированного программирования. При этом проанализированы квадратурные формулы классов PB (положительно на границе) и PI (положительно внутри), т. е. все веса положительны, а все узлы находятся строго внутри области интегрирования, либо, как в первом случае, хотя бы один узел находится на границе области. Соответственно, в первом случае есть надежда на то, что некоторые узлы можно использовать повторно, а во втором есть полная гарантия того, что результат получится в пределах заданной точности. Рассматриваемая задача является актуальной и позволит с большей долей точности решать уравнения математической физики с помощью метода конечных элементов. Настоящая работа преследует следующую цель: создать эффективный алгоритм численного интегрирования в двумерном случае, который будет давать приемлемые результаты на довольно широком классе функций. Практически интересные интегралы, приведенные в настоящей работе, имеют физический смысл и находят свое применение в области лазерной рефрактографии.