Регуляризация и построение асимптотических решений в методе пограничных функций

Аннотация

В своей статье в 1977 г. С.А. Ломов заметил, что асимптотика типа пограничного слоя Васильевой–Бутузова для сингулярно возмущенной задачи может быть получена методом перехода в пространство бо́ льшей размерности или регуляризации исходного дифференциального оператора с помощью быстрой независимой переменной. К сожалению, подробный алгоритм построения такой асимптотики в настоящей работе не приводится, и остается открытым вопрос, будет ли в действительности совпадать полученная в ней асимптотика с асимптотикой типа пограничного слоя. В данной статье этот вопрос решен положительно. Однако сама регуляризации разбита на два этапа: частичную и полную регуляризации. В процессе частичной регуляризации не удается получить «расширенную» задачу, итерационные системы которой допускают решения в виде суммы двух функций с разделенными независимыми переменными (одна из которых — обычная, а другая — регуляризирующая переменные). В основе полной регуляризации лежит процедура построения «расширенной» системы, примененная авторами в работах по регуляризации интегральных операторов, суть которой состоит в регуляризации исходной задачи в классе формальных асимптотических  рядов по степеням малого параметра с коэффициентами в виде суммы функций с разделенными переменными. Полученная с помощью такой процедуры асимптотика полностью совпадает с асимптотикой типа пограничного слоя, что и подтверждает гипотезу С.А. Ломова