Регуляризация и построение асимптотических решений в методе пограничных функций
Аннотация
В своей статье в 1977 г. С.А. Ломов заметил, что асимптотика типа пограничного слоя Васильевой–Бутузова для сингулярно возмущенной задачи может быть получена методом перехода в пространство бо́ льшей размерности или регуляризации исходного дифференциального оператора с помощью быстрой независимой переменной. К сожалению, подробный алгоритм построения такой асимптотики в настоящей работе не приводится, и остается открытым вопрос, будет ли в действительности совпадать полученная в ней асимптотика с асимптотикой типа пограничного слоя. В данной статье этот вопрос решен положительно. Однако сама регуляризации разбита на два этапа: частичную и полную регуляризации. В процессе частичной регуляризации не удается получить «расширенную» задачу, итерационные системы которой допускают решения в виде суммы двух функций с разделенными независимыми переменными (одна из которых — обычная, а другая — регуляризирующая переменные). В основе полной регуляризации лежит процедура построения «расширенной» системы, примененная авторами в работах по регуляризации интегральных операторов, суть которой состоит в регуляризации исходной задачи в классе формальных асимптотических рядов по степеням малого параметра с коэффициентами в виде суммы функций с разделенными переменными. Полученная с помощью такой процедуры асимптотика полностью совпадает с асимптотикой типа пограничного слоя, что и подтверждает гипотезу С.А. Ломова
Литература
2. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Асимптотическая теория контрастных структур // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. C. 3—32.
3. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.
4. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные задачи и метод регуляризации. М.: Издат. дом МЭИ, 2012.
5. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональным вырождением ядра // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 10. С. 1330—1341.
6. Ломов С.А. Асимптотическое решение дифференциальных уравнений с параметрами // Доклады АН СССР. 1971. Т. 196. № 2. С. 285—288.
7. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Математический сборник. 1952. Т. 31 (73). № 3. С. 575—586.
8. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во МГУ, 2011.
9. Качалов В.И. Теорема Тихонова о предельном переходе и псевдоголоморфные решения сингулярно возмущенных задач // Доклады РАН. 2014. Т. 458. № 6. С. 630—632.
10. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
---
Для цитирования: Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризация и построение асимптотических решений в методе пограничных функций // Вестник МЭИ. 2019. № 1. С. 133—138. DOI: 10.24160/1993-6982-2019-1-133-138.
#
1. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F. Asimptoticheskie Razlozheniya Resheniy Singulyarno Vozmushchennyh Uravneniy. M.: Nauka, 1973. (in Russian).
2. Butuzov V.F., Vasil'eva A.B., Nefedov N.N. Asimptoticheskaya Teoriya Kontrastnyh Struktur. Avtomatika i Telemekhanika. 1997;7:3—32. (in Russian).
3. Lomov S.A. Vvedenie v Obshchuyu Teoriyu Singulyarnyh Vozmushcheniy. M.: Nauka, 1981. (in Russian).
4. Safonov V.F., Bobodzhanov A.A. Kurs Vysshey Matematiki. Singulyarno Vozmushchennye Zadachi i Metod Regulyarizatsii. M.: Izdat. Dom MEI, 2012. (in Russian).
5. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Regulyarizovannye Asimptoticheskie Resheniya Singulyarno Vozmushchennyh Integral'nyh Sistem s Diagonal'nym Vyrozhdeniem Yadra. Differentsial'nye Uravneniya. 2001;37;10: 1330—1341. (in Russian).
6. Lomov S.A. Asimptoticheskoe Reshenie Differentsial'nyh Uravneniy s Parametrami. Doklady AN SSSR. 1971;196;2:285—288. (in Russian).
7. Tihonov A.N. Sistemy Differentsial'nyh Uravneniy, Soderzhashchie Malye Parametry pri Proizvodnyh. Matematicheskiy Sbornik. 1952; 31 (73);3:575—586. (in Russian).
8. Lomov S.A., Lomov I.S. Osnovy Matematicheskoy Teorii Pogranichnogo Sloya. M.: Izd-vo MGU, 2011. (in Russian).
9. Kachalov V.I. Teorema Tihonova o Predel'nom Perekhode i Psevdogolomorfnye Resheniya Singulyarno Vozmushchennyh Zadach. Doklady RAN. 2014;458;6: 630—632. (in Russian).
10. Bogolyubov N.N., Mitropol'skiy Yu.A. Asimptoticheskie Metody v Teorii Nelineynyh Kolebaniy. M.: Izd-vo AN SSSR, 1963. (in Russian).
---
For citation: Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Regularization and Construction of Asymptotic Solutions in the Boundary Function Method. MPEI Vestnik. 2019;1:133—138. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2019-1-133-138.
