Анализ подходов к решению задачи построения математической модели объекта по неточным экспериментальным данным

Аннотация

Проанализированы источники неопределённости и особенности применения различных моделей описания неточных данных, а также подходы к решению задач построения прямой и обратной статических характеристик системы по неточным данным, базирующихся на разных моделях описания неопределённости.

Показано, что применение подхода, наиболее часто используемого на практике, основанного на вероятностной (статистической) модели описания неопределённости, целесообразно лишь в случае, когда неопределённость связана только со случайной вариабельностью. Описание других источников неопределённости в рамках данной модели затруднительно. В этом случае при описании помехи приоритетным является нормальное распределение, на постулировании которого основаны последующие выводы, а для описания механизма её действия чаще всего используют модель аддитивной помехи на выходе с нулевым значением ошибки на входе системы. В предположении выполнения указанных предпосылок для решения задачи построения прямой и обратной статических характеристик взят аппарат регрессионного анализа. Все оптимальные свойства получаемых в этом случае оценок параметров справедливы только для прямой модели, при выполнении следующей достаточно жёсткой системы предположений, которые часто нарушаются на практике в силу того, что

• реальные законы распределения ошибок разнообразны и часто далеки от нормального;
• для установления действительного вида функции распределения необходимо проведение испытаний, число которых должно быть тем больше, чем большим выбирается значение доверительной вероятности;
• ошибки измерений входных величин существенны, что приводит к смещённым оценкам параметров модели, а ошибки измерений выхода содержат как случайные, так и систематические составляющие, вследствие чего метод наименьших квадратов не является оптимальным в статистическом смысле;
• cлучайные ошибки могут быть зависимыми, а их корреляционная матрица неизвестной и часто, хотя и необоснованно, используемые в этом случае обычные оценки наименьших квадратов не будут обеспечивать наименьшие дисперсии;
• помеха измерения и/или установки факторов может описываться не только аддитивной моделью, используемой в большинстве случаев на практике, но и мультипликативной или аддитивно-мультипликативной.

В рамках регрессионного анализа нет теоретически обоснованного метода построения обратной характеристики и её доверительного интервала, поэтому применение статистического подхода к решению задачи построения обратных характеристик приводит к серьезным трудностям, а формальное применение регрессионного анализа даёт результаты, далекие от истинных:

• разделение переменных на точно измеряемые входные и измеряемые с ошибками выходные нарушается при построении обратных характеристик;
• аналитическое определение доверительного интервала для предсказанного значения входной переменной теоретически необосновано и представляется крайне затруднительным;
• существенным недостатком доверительного интервала значения ошибки является невозможность суммирования её составляющих, так как доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов слагаемых;
• из-за существенной нелинейности обратного преобразования модель ошибки является очень сложной и не может быть описана в терминах абсолютной или относительной ошибок.

С учётом этого наиболее полной характеристикой точности решения задачи построения обратной функции представляется интервал её неопределённости, а перспективным является применение подхода, основанного на использовании интервальной модели, позволяющей описать широкий класс неопределённых, вариабельных и неточных исходных данных.