Предельный переход в интегро-дифференциальных уравнениях с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами

Аннотация

Рассмотрено интегро-дифференциальное уравнение с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами. Изучен предельный переход ее решения при стремлении малого параметра к нулю. Аналогичная задача анализировалась ранее для одного быстро изменяющегося ядра. В случае нескольких быстро изменяющихся ядер исследование сопряжено с довольно тонким анализом регуляризованного асимптотического решения, алгоритм построения которого ранее не разрабатывался. Непосредственное обобщение идей работы с одним быстро изменяющимся ядром малоэффективно, так как наличие нескольких спектральных значений ядра интегрального оператора существенно изменяет алгоритм метода регуляризации С.А. Ломова, делая его менее обозримым. Известно, что при исследовании предельного перехода при стремлении малого параметра к нулю в сингулярно возмущенных задачах обычно строится главный член асимптотики, для вычисления которого в случае интегро-дифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части надо решить первые две итерационные задачи, возникающие в процессе построения асимптотики, при наличии известной правой части третьей итерационной системы. В случае одного быстро изменяющегося ядра построение такого решения не составляет особого труда, поскольку эквивалентная интегро-дифференциальная система имеет порядок, равный двум. В случае нескольких ядер этот порядок больше двух, что заметно усложняет построение решений соответствующих итерационных задач. Основные идеи проводимого обобщения и тонкости, возникающие при разработке соответствующего алгоритма метода регуляризации, полностью просматриваются в случае двух быстро изменяющихся ядер, поэтому в работе представлен именно этот случай.

Показано, что предельное решение существенно зависит от числа спектральных значений интегрального оператора, и точное решение исходной задачи стремится к предельному на всем рассматриваемом отрезке времени, что подтверждает эффект отсутствия в задаче пограничного слоя.