О задаче продолжения функции внутрь круга в пространствах с весом, имеющим особенность на границе

Аннотация

Доказано, что всякая квадратично-суммируемая со степенным весом в единичном круге функция единственным образом представляется в виде ортогональной суммы аналитической и коаналитической составляющих, поэтому коаналитическую составляющую естественно считать определенной характеристикой неаналитичности функции. Рассмотрена задача о нахождении такого продолжения функции с единичной окружностью внутри круга, чтобы оно наименее уклонялось от весового подпространства Соболева аналитических функций (задача минимизации коаналитического уклонения). Аналогичные коаналитические задачи решались другими авторами в безвесовом случае для единичного круга, полуполосы, произвольной ограниченной односвязной области с гладкой границей. Задача поставлена в пространствах с весом, имеющим степенную особенность на всей границе единичного круга, а граничные значения функций взяты из соответствующего пространства Бесова. Сформулированы известные свойства весовых пространств, в том числе прямая и обратная теоремы о следах функций из рассматриваемых классов. Используя эти свойства, в рамках идей теории монотонных операторов доказана теорема о существовании и единственности решения задачи.