Регуляризация интегральных операторов в сингулярно возмущенных задачах с помощью нормальных форм
Аннотация
При обобщении метода регуляризации С.А. Ломова на интегральные и интегро-дифференциальные сингулярно возмущенные задачи основная трудность заключается в регуляризации интегральных операторов. В случае отсутствия интегральных операторов, т. е. при наличии только дифференциального оператора регуляризация соответствующей сингулярно возмущенной задачи проводится обычно по спектру предельного оператора с помощью известной формулы сложного дифференцирования. Для интегральных операторов аналога формулы сложного дифференцирования нет, поэтому напрямую построить расширение интегрального оператора не представляется возможным. Обобщая идеи С.А. Ломова, в одной из работ для дифференциальных систем была развита регуляризация с помощью нормальных форм. При ней дополнительные (регуляризирующие) переменные вводятся не непосредственно по спектру предельного оператора, а вычисляются опосредовано с помощью некоторой нормальной дифференциальной формы, решение которой записывается в квадратурах. В случае ненулевых точек простого спектра предельного оператора подобная регуляризация совпадает с регуляризацией по спектру, развитой С.А. Ломовым. Однако при наличии собственных значений предельного оператора, обращающихся в нуль хотя бы в одной точке рассматриваемого промежутка времени, классическая регуляризация С.А. Ломова не позволяет построить расширение интегрального оператора и провести его полную регуляризацию. Применение регуляризации с помощью нормальных форм позволило полностью снять эту проблему.
На примере простейшей интегродифференциальной задачи с нестабильностью спектра на континуальном множестве продемонстрированы основные идеи метода нормальных форм и приведено утверждение, с помощью которого проходит регуляризация интегральных операторов. Выписывается главный член асимптотики решения этой задачи, после изучения которого можно сделать вывод о наличии двух слоев в решении: пограничного в окрестности начальной точки рассматриваемого промежутка времени и внутреннего переходного (контрастной структуры) в окрестности конечной точки множества нестабильности.
Литература
2. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.: М.: Наука, 1981.
3. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во МГУ 2011.
4. Бободжанов А.А.,Сафонов В.Ф. Уравнения с нестабильным спектральным значением ядра интегрального оператора и контрастные структуры // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 5. С. 660—673.
5. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Сингулярно возмущенные интегродифференциальные уравнения типа Фредгольма и системы с внутренними переходными слоями. М.: Спутник +, 2018
6. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 41. № 7. С. 799—851.
7. Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в случае сингулярных особенностей предельного оператора // Математический сборник. 1986. Т. 131 (173). № 4. С. 544—557.
8. Бободжанов А.А.,Сафонов В.Ф. «Всплески» в интегродифферниальных уравнениях Фредгольма с быстро изменяющимися ядрами // Матемематические заметки. 2009. Т. 85. Вып. 2. С. 163—179.
9. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Метод нормальных форм в сингулярно возмущенных системах интегродифференциальных уравнений Фредгольма с быстро изменяющимися ядрами // Математический сборник. 2013. Т. 204. № 7. С. 47—70.
---
Для цитирования: Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Регуляризация интегральных операторов в сингулярно возмущенных задачах с помощью нормальных форм / Вестник МЭИ. 2019. № 6. С. 131—137. DOI: 10.24160/1993-6982-2019-6-131-137.
#
1. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Singulyarno Vozmushchennye Integrodifferentsial'nye Sistemy s Kontrastnymi Strukturami. Matematicheskiy Sbornik. 2005;196;2:29—56. (in Russian).
2. Lomov S.A. Vvedenie v Obshchuyu Teoriyu Singulyarnykh Vozmushcheniy.: M.: Nauka, 1981. (in Russian).
3. Lomov S.A., Lomov I.S. Osnovy Matematicheskoy Teorii Pogranichnogo Sloya. M.: Izd-vo MGU, 2011. (in Russian).
4. Bobodzhanov A.A.,Safonov V.F. Uravneniya s Nestabil'nym Spektral'nym Znacheniem Yadra Integral'nogo Operatora i Kontrastnye Struktury. Differentsial'nye uravneniya. 2006;42;5:660—673. (in Russian).
5. Safonov V.F., Bobodzhanov A.A. Singulyarno Vozmushchennye Integrodifferentsial'nye Uravneniya Tipa Fredgol'ma i Sistemy s Vnutrennimi Perekhodnymi Sloyami. M.: Sputnik +, 2018. (in Russian). (in Russian).
6. Vasil'eva A.B., Butuzov V.F., Nefedov N.N. Kontrastnye Struktury v Singulyarno Vozmushchennykh Zadachakh. Zhurnal Vychislitel'noy Matematiki i Matematicheskoy Fiziki. 2011;41;7:799—851. (in Russian).
7. Eliseev A.G., Lomov S.A. Teoriya Singulyarnykh Vozmushcheniy v Sluchae SingulyarnykhOsobennostey Predel'nogo Operatora. Matematicheskiy Sbornik. 1986; 131 (173);4:544—557. (in Russian).
8. Bobodzhanov A.A.,Safonov V.F. «Vspleski» v Integrodiffernial'nykh Uravneniyakh Fredgol'ma s Bystro Izmenyayushchimisya Yadrami. Matemematicheskie Zametki. 2009;85;2:163—179. (in Russian).
9. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Metod Normal'nykh Form v Singulyarno Vozmushchennykh Sistemakh Integrodifferentsial'nykh Uravneniy Fredgol'ma s Bystro Izmenyayushchimisya Yadrami. Matematicheskiy Sbornik. 2013;204;7:47—70. (in Russian).
---
For citation: Bobodzhanov A.A.. Safonov V.F. Regularization of Integral Operators in Singularly Perturbed Problems Using Normal Forms. Bulletin of MPEI. 2019;6:131—137. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2019-6-131-137.
