Задачи типа Гильберта для уравнения Коши–Римана с сингулярной окружностью в младших коэффициентах

Аннотация

В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимает система уравнений Коши–Римана. Подобную систему с младшими членами и с правой частью называют обобщенной системой Коши–Римана (ОСКР). Ее удобно исследовать, осуществляя переход из вещественного пространства в комплексное.

Существует несколько различных математических теорий уравнений, обобщающих методы теории функций комплексного переменного. В первую очередь следует отметить работу Л. Берса, в которой собраны операции интегрирования по комплексному переменному для обобщенной системы типа Коши–Римана. Данный подход получил известное завершение в теории псевдоаналитических функций. В работах Г.Н. Положего развита теория р-аналитических функций, близкая к работам Л. Берса.

Другое,  более  прогрессивное,  направление  получило  название  обобщенных  аналитических  функций  и  развивалось  школой И.Н. Векуа и его последователей (Б.В. Боярский и др.). В данном случае на основе использования аппарата функционального анализа формируется идея соответствия между функциями комплексного переменного и решениями обобщенного уравнения Коши–Римана. Теория Векуа построена в предположении, что коэффициенты при младших коэффициентах функции принадлежат пространству суммируемых функций со степенью р > 2. Коэффициенты указанных систем могут допускать «слабые» особенности, лимитируемые требованием р-интегрируемости. Таким образом, даже уравнения с коэффициентами, обладающие особенностями первого порядка, не охватываются теорией Векуа. Однако иные задачи, младшие коэффициенты которых допускают особенности первого порядка или «сильные» особенности, сводится к ОСКР. В настоящей работе для ОСКР, младшие коэффициенты которой допускают сильную особенность в окружности, решены задачи типа Гильберта.