Алгоритм кумулятивных сумм для обнаружения изменений ковариационной матрицы многомерных временных рядов
Аннотация
Рассмотрена задача обнаружения спонтанного изменения вероятностных характеристик (разладки) векторных временных рядов с помощью известного алгоритма кумулятивных сумм (АКС). Исследован случай, когда оно носит характер скачкообразного изменения элементов ковариационной матрицы временнóго ряда. Предложено использование предварительного линейного преобразования значений наблюдаемого временнóго ряда, обеспечивающего одновременное преобразование ковариационной матрицы до изменения к единичному виду, а ковариационной матрицы после изменения — к диагональному. Даны базовые положения, описывающие соответствующий алгоритм обнаружения, а также соотношения, реализующие указанное линейное преобразование. Показано, что его применение позволяет существенно упростить решение вопросов синтеза контролирующего алгоритма с заданными свойствами. Это связано с тем, что получающийся в результате такого преобразования временнóй ряд имеет некоррелированные компоненты, а изменения сводятся к отклонению дисперсий этих компонент от исходного единичного значения. Для двумерного случая детально проанализирована процедура синтеза контролирующего алгоритма. Для ее практической реализации предложены полученные с помощью метода имитационного моделирования расчетные соотношения, позволяющие по заданному значению интервала между ложными тревогами найти порог срабатывания контролирующего алгоритма и оценить среднее время запаздывания в обнаружении разладки. Представлен пример реализации такого синтеза, иллюстрирующей весь процесс построения контролирующей процедуры.
Литература
2. Никифоров И.В. Последовательное обнаружения изменения свойств временных рядов. М.: Наука, 1983.
3. Shafid A. Bibliometric Analysis of EWMA and CUSUM Control Chart Schemes // ITEE J. 2018. V. 7. Iss. 2. Pp. 1—11.
4. Ширяев А.Н. Задача скорейшего обнаружения нарушения стационарного режима // Доклады АН СCСР. 1961. Т. 138. № 5. С. 1039—1042.
5. Crosier R.B. Multivariate Generalizations of Cumulative Sum Quality-control Schemes // Technometrics. 1988. V. 30. Pp. 291—303.
6. Chan L.K., Zhang J. Сharts Cumulative Sum Control for the Covariance Matrix // Statistica Sinica. 2001. V. 11. Pp. 767—790.
7. Ngai H.M., Zhang J. Multivariate Cumulative Sum Control Charts Based on Projection Pursuit // Statistica Sinica. 2001. V. 11. Pp.747—766.
8. Runger, G.C., Testik M.C. Multivariate Extensions to Cumulative Sum Control Charts // Quality and Reliability Eng. Intern. 2004. V. 20. Pp. 587—606.
9. Yeh A.B., Lin D.K., McGrath R.N. Multivariate Control Chart for Monitoring Covariance Matrix: a Review // Quality Techn. & Quantitative Management. 2006. V. 3. Pp. 415—436.
10. Liu L., Zhong J., Ma Y. A Multivariate Synthetic Control Chart for Monitoring Covariance Matrix Based on Conditional Entropy // Proc. 19th Intern. Conf. Industrial Eng. and Eng. Management. Berlin: Springer, 2013. Pp. 99—107.
11. Филаретов Г.Ф., Червова А.А. Последовательный алгоритм обнаружения момента изменения дисперсии временного ряда // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2019. Т. 85. № 3. С. 75—82.
12. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Советское радио, 1975.
13. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.
---
Для цитирования: Филаретов Г.Ф., Симоненков П.С. Алгоритм кумулятивных сумм для обнаружения изменений ковариационной матрицы многомерных временных рядов // Вестник МЭИ. 2020. № 3. С. 92—101. DOI: 10.24160/1993-6982-2020-3-92-101.
#
1. Page E.S. Continuous Inspection Schemes. Biometrika. 1954;41;1:100—115.
2. Nikiforov I.V. Posledovatel'noe Obnaruzheniya Izmeneniya Svojstv Vremennyh Ryadov. M.: Nauka, 1983. (in Russian).
3. Shafid A. Bibliometric Analysis of EWMA and CUSUM Control Chart Schemes. ITEE J. 2018;7;2: 1—11.
4. Shiryaev A.N. Zadacha Skorejshego Obnaruzheniya Narusheniya Stacionarnogo Rezhima. Doklady AN SCSR. 1961;138;5:1039—1042. (in Russian).
5. Crosier R.B. Multivariate Generalizations of Cumulative Sum Quality-control Schemes. Technometrics. 1988;30:291—303.
6. Chan L.K., Zhang J. Sharts Cumulative Sum Control for the Covariance Matrix. Statistica Sinica. 2001; 11:767—790.
7. Ngai H.M., Zhang J. Multivariate Cumulative Sum Control Charts Based on Projection Pursuit. Statistica Sinica. 2001;11:747—766.
8. Runger, G.C., Testik M.C. Multivariate Extensions to Cumulative Sum Control Charts. Quality and Reliability Eng. Intern. 2004;20:587—606.
9. Yeh A.B., Lin D.K., McGrath R.N. Multivariate Control Chart for Monitoring Covariance Matrix: a Review. Quality Techn. & Quantitative Management. 2006;3: 415—436.
10. Liu L., Zhong J., Ma Y. A Multivariate Synthetic Control Chart for Monitoring Covariance Matrix Based on Conditional Entropyю Proc. 19th Intern. Conf. Industrial Eng. and Eng. Management. Berlin: Springer, 2013: 99—107.
11. Filaretov G.F., Chervova A.A. Posledovatel'nyj Algoritm Obnaruzheniya Momenta Izmeneniya Dispersii Vremennogo Ryada. Zavodskaya Laboratoriya. Diagnostika Materialov. 2019;85;3:75—82. (in Russian).
12. Levin B.R. Teoreticheskie Osnovy Statisticheskoj Radiotekhniki. M.: Sovetskoe Radio, 1975. (in Russian).
13. Ayvazyan S.A., Mhitaryan V.S. Prikladnaya Statistika i Osnovy Ekonometriki. M.: YUNITI, 1998. (in Russian).
---
For citation: Filaretov G.F., Simonenkov P.S. A Cumulative Sum Algorithm for Detecting Changes in the Covariance Matrix of Multidimensional Time Series. Bulletin of MPEI. 2020;3:92—101. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2020-3-92-101.
