Метод регуляризации для нелинейных интегродифференциальных уравнений с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами

Аннотация

Рассмотрено нелинейное интегродифференциальное уравнение с нулевым оператором дифференциальной части и несколькими быстро изменяющимися ядрами. Работа является продолжением исследований, проведенных ранее для одного быстро изменяющегося ядра. Основные идеи данного обобщения и тонкости, возникающие при разработке соответствующего алгоритма метода регуляризации, полностью просматриваются в случае двух быстро изменяющихся ядер, поэтому ради сокращения выкладок взят именно этот случай. Аналогичная задача с одним спектральным значением ядра интегрального оператора проанализирована в одной из работ авторов. В этом случае сингулярности в решении задачи описываются только спектральным значением ядра. Однако влияние нулевого оператора дифференциальной части сказывается на том, что в первом приближении асимптотика решения рассматриваемой задачи не будет содержать функций пограничного слоя, а сам предельный оператор станет вырожденным (но не нулевым). Условия разрешимости соответствующих итерационных задач, как и в линейном случае, будут иметь вид не дифференциальных (как это было в задачах с ненулевым оператором дифференциальной части), а интегро-дифференциальных уравнений, причем на формирование указанных уравнений существенную роль оказывает нелинейность. Отметим, что в отличие от линейного случая в правой части изучаемой задачи отсутствует неоднородность соответствующей линейной задачи. Как было показано ранее, наличие ее в задаче повлекло бы появление в асимптотическом решении членов с отрицательными степенями малого параметра, причем в нелинейном случае таких степеней оказалось бы бесчисленное множество, а соответствующее формальное асимптотическое решение имело бы вид ряда Лорана. Это сделало бы создание алгоритма асимптотических решений проблематичным, поэтому в настоящей работе, желая оставаться в рамках асимптотических решений типа рядов Тейлора, исключена неоднородность. Кроме того, в нелинейном случае могут возникнуть так называемые резонансы, которые значительно усложняют разработку соответствующего алгоритма метода регуляризации. В настоящей публикации рассматривается нерезонансный случай. Предполагается, что исследование альтернативного варианта (более сложной резонансной задачи) будет проведено в дальнейшем.