О коградиентности и контрградиентности линейных дифференциальных уравнений и систем

Аннотация

В теории трансцендентных чисел одним из основных методов остаётся метод Зигеля–Шидловского, с помощью которого можно доказывать трансцендентность и алгебраическую независимость значений целых функций некоторого класса (так называемых Е-функций).  Для применения данного метода необходимо, чтобы рассматриваемые функции составляли решение системы линейных дифференциальных уравнений и были алгебраически независимы над .

Вопрос об алгебраической независимости решений линейных дифференциальных уравнений и систем подобных уравнений имеет большое значение в дифференциальной алгебре, аналитической теории дифференциальных уравнений, теории специальных функций и математическом анализе в широком смысле. В работах Е. Колчина, Ф. Бейкерса, В. Браунвела и Г. Хекмана показано, что этот вопрос во многом сводится к проверке условия коградиентности и контрградиентности.

Две системы линейных однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка с коэффициентами из  называют коградиентными (соответственно, контрградиентными), если для произвольных фундаментальных матриц  и Ψ этих систем выполняется одно из равенств  Φ=gBΨC; Φ (ΨC)^*=gB,

где C∈GL(C), B∈GL(C(z)), g=g(z)     — функция с условием ; g^'/g∈C(z); A^* — матрица, транспонированная с матрицей . Аналогично понятия коградиентности и контрградиентности определяются для линейных однородных дифференциальных уравнений произвольного порядка.

В некоторых работах автора, посвящённых обобщённым гипергеометрическим функциям, фактически использованы другие, более узкие определения коградиентности и контрградиентности. Согласно им, в равенствах (1) функция  является произведением степенной и показательной функций некоторого вида.

Найдены условия эквивалентности данных определений.