Коаналитическая задача продолжения периодической функции в пространствах с весом, имеющим особенность на границе

Аннотация

Известно, что всякая периодическая квадратично-суммируемая со степенным весом в полуполосе функция единственным образом представлена в виде ортогональной суммы аналитической и коаналитической составляющих, поэтому коаналитическую составляющую естественно считать определенной характеристикой неаналитичности функции.

Рассмотрена задача о нахождении такого продолжения периодической функции, чтобы оно наименее уклонялось от весового подпространства Соболева аналитических функций (задача минимизации коаналитического уклонения). Автором ранее была проанализирована задача продолжения функции внутрь круга в пространствах с весом, имеющим особенность на границе. Аналогичные коаналитические задачи изучены другими авторами в безвесовом случае для единичного круга, полуполосы, произвольной ограниченной односвязной области с гладкой границей. Задача ставится в пространствах периодических функций с весом, имеющим степенную особенность на границе, а граничные значения функций берутся из соответствующего пространства Бесова.

Сформулированы известные свойства весовых пространств, в том числе прямая и обратная теоремы о следах функций из рассматриваемых классов. Используя указанные свойства, в рамках идей теории монотонных операторов доказана теорема о существовании и единственности решения задачи.