Об одной нормальной краевой задаче теории поля

Аннотация

Настоящая работа посвящена исследованию одной нормальной задачи теории поля на плоскости для системы уравнений Пуассона.

Указанная задача является одной из реализаций общего подхода к формулированию краевых задач теории поля, основанного на изучении ядер операторов следа и ядер функционалов следа, принимаемых в качестве основного пространства искомых решений. Ее особенность состоит в нелокальности одного из граничных условий, налагаемых на искомое решение. Рассматриваемая нелокальность граничного условия обусловлена тем, что базовым пространством, в котором ищется решение задачи, является ядро регулярного функционала следа в пространстве Соболева. Возникающая при этом необходимость дополнения задачи на одномерном коядре указанного функционала определяет второе граничное условие, носящее локальный (точечный) характер. Именно поэтому, в рамках двойственности пространства Соболева и сопряженного к нему пространства, решением задачи является пара (u, с) где c – постоянная, компенсирующая одномерный «дефект» задачи.

Следует отметить, что теория краевых задач векторных полей на плоскости весьма отличается от теории краевых задач трехмерных векторных полей. Одной из причин затруднений при формулировании трехмерных краевых задач считается непараллелизуемость ряда важных поверхностей, что не позволяет рассматривать «тангенциальные» краевые задачи, т. е. задачи с граничными касательными полями. В этом отношении теория краевых задач плоских векторных полей отличается от трехмерной теории в лучшую сторону. С другой стороны, отсутствие на плоскости формулы связи оператора Лапласа с операциями теории поля первого порядка является препятствием для выявления новых нестандартных краевых задач для плоских полей. Выявление этой связи — отдельный вопрос, решение которого приводит к понятию следа операторов первого порядка теории поля как сингулярного функционала над пространством следов функций из пространства Соболева первого порядка. Таким образом, краевые задачи для плоских полей — отдельный раздел общей теории полевых краевых задач.

Рассмотрена одна из нестандартных задач теории плоских векторных полей, содержащая нелокальные краевые условия. Сформулирована и доказана теорема существования и единственности слабого решения поставленной задачи. Доказательство теоремы включает в себя несколько этапов:

• с помощью метода Галеркина установлено существование решения уравнения;
• выполнен предельный переход и найдена вектор-функция u(x);
• определено число α и установлены единственности функции ???? и числа α.

Основной результат работы — корректность поставленной задачи.