Усредненная модель распространения малых возмущений в конфигурации упругое тело – пороупругая среда для двухскоростного континуума

  • Светлана [Svetlana] Александровна [A.] Гриценко [Gritsenko]
  • Анварбек [Anvarbek] Мукатович [M.] Мейрманов [Meirmanov]
Ключевые слова: композитные среды, периодическая структура, уравнения Ламе, уравнения акустики, пороупругость, усреднение периодических структур, двухмасштабная сходимость

Аннотация

Статья продолжает серию работ авторов, посвященных усреднению математических моделей, описывающих процессы изотермической акустики в гетерогенной среде с двумя компонентами, разделенными общей границей. Одна из компонент является упругим телом, другая — пороупругой сплошной средой. Пороупругой средой называют упругое тело, пронизанное системой пор, заполненных жидкостью. В качестве исходной модели использована точная математическая модель, полученная на основе классических законов механики сплошной среды. Дифференциальные уравнения модели содержат быстро осциллирующие коэффициенты, появляющиеся в результате перехода к безразмерным переменным. Предполагается, что существуют конечные или бесконечные пределы таких коэффициентов при стремлении к нулю малого параметра эпсилон. Авторы полагают малый параметр эпсилон равным отношению среднего размера пор к характерному размеру рассматриваемой области, от них зависят не только коэффициенты дифференциальных уравнений, но и геометрия рассматриваемой области.

Выведены различные усредненные (предельные) модели с отсутствующими быстроосциллирующими коэффициентами. Для того, чтобы воспользоваться теорией усреднения и известными результатами об усреднении, добавлены упрощающие геометрические предположения о периодичностях и связанностях порового пространства и упругого скелета. Под усредненными моделями понимаются такие краевые задачи для уравнений или систем с относительно медленно меняющимися характеристиками, что решения краевых задач для исходных моделей сходятся (в некотором смысле) к решению соответствующих уравнений для усредненной модели, когда период ε рассматриваемой периодической структуры стремится к нулю. В зависимости от характеристик сплошной среды (жидкость вязкая, слабовязкая, сжимаемая, несжимаемая, скелет сильно деформируемый, упругий, абсолютно твердый и т. д.) предельные режимы получаются различными.

Исследован один из случаев со слабосжимаемой, слабовязкой жидкостью и слабодеформируемым упругим скелет в одной области и упругим тело в другой. Исходная математическая модель достаточно точно отражает реальный физический процесс, однако настолько сложна, что стандартная схема усреднения для нее не работает. Поэтому в качестве основного инструмента использован метод двухмасштабной сходимости. С одной стороны, часто нельзя вычислить предельные режимы модели даже в терминах слабой сходимости, но это возможно сделать в терминах двухмасштабной сходимости. С другой стороны, последовательность решений, как правило, получается ограниченной, но не компактной, и в этом случае слабый предел последовательности не является удовлетворительным приближением к решению исходной математической модели, а предпочтительнее использовать двухмасштабный предел. Для отдельно взятой пороупругой области или для области, занятой упругим телом, результаты представлены ранее в работах авторов. В данном случае изучается совместное движение упругого тела и пористой упругой среды, и основная проблема заключается в выводе условий на общей границе упругой и пороупругой областей.

Сведения об авторах

Светлана [Svetlana] Александровна [A.] Гриценко [Gritsenko]

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования НИУ «МЭИ», e-mail: sv.a.gritsenko@gmail.com

Анварбек [Anvarbek] Мукатович [M.] Мейрманов [Meirmanov]

доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений Белгородского государственного национального исследовательского университета, e-mail: anvarbek@list.ru

Литература

1. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1975. Т. 221. № 3. С. 516—519.
2. Бахвалов Н.С. Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.
3. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.
4. Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. М.: Наука, 2004.
5. Shamaev A.S., Shumilova V.V. Homogenization of Acoustic Equations for a Partially Perforated Elastic Material with Slightly Viscous Fluid // Журнал Сибирского федерального ун-та. Серия «Математика и физика. 2015. № 8 (3). С. 356—370.
6. Жиков В.В., Пастухова С.Е. Усреднение монотонных операторов с условиями коэрцитивности и роста переменного порядка // Математические заметки. 2011. Т. 90. № 1. С. 53—69.
7. Zhikov V.V. Homogenization of a Navier–Stokes Type System for Electrorheological Fluid // Complex Variables and Elliptic Equations. 2011. V. 56. No. 7 — 9. Pp. 545—558.
8. Pastukhova S.E. Estimates in Homogenization of Parabolic Equations with Locally Periodic Coefficients // Asymptot. Anal. 2010. V. 66. No. 3 — 4. Pp. 207—228.
9. Krylova A.S., Sandrakov G.V. Homogenization of Spectral Problem on Small-periodic Networks // Журнал математической физики, анализа, геометрии. 2012. V. 8. No. 4. Pp. 336—356.
10. Егер В., Нойс-Раду М., Шапошникова Т.А. Об усреднении уравнения диффузии в перфорированной области с нелинейным условием на поток на границе полостей и масштабами задачи, приводящими к новому нелинейному соотношению между краевыми условиями и эффективным распределением источников-стоков // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2011. Вып. 28. С. 161—181.
11. Nguetseng, G. A General Convergence Result for a Functional Related to the Theory of Homogenization // SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20. Pp. 608—623.
12. Nguetseng G. Asymptotic Analysis for a Stiff Variational Problem Arising in Mechanic. // SIAM J. Math. Anal. 1990. V. 21. Pp .1394—1414.
13. Lukkassen D., Nguetseng G., Wall P. Two-scale Сonvergence // Int. J. Pure and Appl. Math. 2002. V. 2. No. 1. Pp. 35—86.
14. Allaire G. A General Convergence Result for a Functional Related to the Theory of Homogenization // SIAM J. Math. Anal. 1992. V. 23. Pp. 1482—1518.
15. Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости // Математический сборник. 2000. Т. 191. № 7. С. 31—72.
16. Жиков В.В., Иосифьян Г.А. Введение в теорию двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 281—332.
17. Мейрманов А.М. Уравнения акустики в упругих пористых средах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2010. Т. 13. № 2. С. 98—110.
18. Meirmanov A.M. Derivation of Equations of Seismic and Acoustic Wave Propagation and Equations of Filtration Via Homogenization of Periodic Structures // J. Math. Sci. 2009. V. 163. No. 2. Pp. 111—172.
19. Мейрманов А.М., Гриценко С.А., Герус А.А. Усредненные модели изотермической акустики в конфигурации «жидкость – пороупругая среда» // Сибирские электронные математические известия. 2016. № 13. С. 49—74.
20. Burridge R., Keller J.B. Poroelasticity Equations Derived from Microstructure // J. Acoust. Soc. Am. 1981. V. 70. No. 4. Pp. 1140—1146.
21. Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous Media and Vibration Theory // Lecture Notes in Physics. Berlin: Springer, 1980. V. 129.
22. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
23. Мейрманов А.М., Герус А.А., Гриценко С.А. Усредненные модели изотермической акустики в конфигурации «упругое тело – пороупругая среда» // Математическое моделирование. 2016. Т. 28. № 12. С. 3—19.
24. Гриценко С.А., Мейрманов А.М. О модели изотермической акустики для двухкомпонентной среды // Вестник МЭИ. 2017. № 6. С. 146—151.
25. Conca C. On the Application of the Homogenization Theory to a Class of Problems Arising in Fluid Mechanics // Math. Appl. 1985. V. 64. Pp. 31—75.
--
Для цитирования: Гриценко С.А., Мейрманов А.М. Усредненная модель распространения малых возмущений в конфигурации упругое тело – пороупругая среда для двухскоростного континуума // Вестник МЭИ. 2019. № 4. С. 127—134. DOI: 10.24160/1993-6982-2019-4-127-134
#
1. Bakhvalov N.S. Osrednenie Differentsial'nykh Uravneniy s Chastnymi Proizvodnymi s Bystro Ostsilliruyushchimi Koeffitsientami. Doklady AN SSSR. 1975; 221;3:516—519. (in Russian).
2. Bakhvalov N.S. Panasenko G.P. Osrednenie Protsessov v Periodicheskikh Sredakh. Matematicheskie Zadachi Mekhaniki Kompozitsionnykh Materialov. M.: Nauka, 1984. (in Russian).
3. Zhikov V.V., Kozlov S.M., Oleynik O.A. Usrednenie Differentsial'nykh Operatorov. M.: Nauka, 1993. (in Russian).
4. Belyaev A.Yu. Usrednenie v Zadachakh Teorii Fil'tratsii. M.: Nauka, 2004. (in Russian).
5. Shamaev A.S., Shumilova V.V. Homogenization of Acoustic Equations for a Partially Perforated Elastic Material with Slightly Viscous Fluid. Zhurnal Sibirskogo Federal'nogo Un-ta. Seriya «Matematika i Fizika. 2015;8 (3):356—370.
6. Zhikov V.V., Pastukhova S.E. Usrednenie Monotonnykh Operatorov s Usloviyami Koertsitivnosti i Rosta Peremennogo Poryadka. Matematicheskie Zametki. 2011;90;1:53—69. (in Russian).
7. Zhikov V.V. Homogenization of a Navier–Stokes Type System for Electrorheological Fluid. Complex Variables and Elliptic Equations. 2011;56;7 — 9:545—558.
8. Pastukhova S.E. Estimates in Homogenization of Parabolic Equations with Locally Periodic Coefficients. Asymptot. Anal. 2010;66;3 — 4:207—228.
9. Krylova A.S., Sandrakov G.V. Homogenization of Spectral Problem on Small-periodic Networks. Zhurnal Matematicheskoy Fiziki, Analiza, Geometrii. 2012;8;4: 336—356.
10. Eger V., Noys-Radu M., Shaposhnikova T.A. Ob Usrednenii Uravneniya Diffuzii v Perforirovannoy Oblasti s Nelineynym Usloviem na Potok na Granitse Polostey i Masshtabami Zadachi, Privodyashchimi k Novomu Nelineynomu Sootnosheniyu Mezhdu Kraevymi Usloviyami i Effektivnym Raspredeleniem Istochnikov- Stokov. Trudy Seminara im. I.G. Petrovskogo. 2011;28: 161—181. (in Russian).
11. Nguetseng, G. A General Convergence Result for a Functional Related to the Theory of Homogenization. SIAM J. Math. Anal. 1989;20:608—623.
12. Nguetseng G. Asymptotic Analysis for a Stiff Variational Problem Arising in Mechanic.. SIAM J. Math. Anal. 1990; 21:1394—1414.
13. Lukkassen D., Nguetseng G., Wall P. Two- scale Сonvergence. Int. J. Pure and Appl. Math. 2002;2;1: 35—86.
14. Allaire G. A General Convergence Result for a Functional Related to the Theory of Homogenization. SIAM J. Math. Anal. 1992;23:1482—1518.
15. Zhikov V.V. Ob Odnom Rasshirenii i Primenenii Metoda Dvukhmasshtabnoy Skhodimosti. Matematicheskiy Sbornik. 2000;191;7:31—72. (in Russian).
16. Zhikov V.V., Iosif'yan G.A. Vvedenie v Teoriyu Dvukhmasshtabnoy Skhodimosti. Trudy Seminara im. I.G. Petrovskogo. 2013;29:281—332. (in Russian).
17. Meyrmanov A.M. Uravneniya Akustiki v Uprugikh Poristykh Sredakh. Sibirskiy Zhurnal Industrial'noy Matematiki. 2010;13;2:98—110. (in Russian).
18. Meirmanov A.M. Derivation of Equations of Seismic and Acoustic Wave Propagation and Equations of Filtration Via Homogenization of Periodic Structures. J. Math. Sci. 2009;163;2:111—172.
19. Meyrmanov A.M., Gritsenko S.A., Gerus A.A. Usrednennye Modeli Izotermicheskoy Akustiki v Konfiguratsii «Zhidkost' – Porouprugaya Sreda». Sibirskie Elektronnye Matematicheskie Izvestiya. 2016;13:49—74. (in Russian).
20. Burridge R., Keller J.B. Poroelasticity Equations Derived from Microstructure. J. Acoust. Soc. Am. 1981;70; 4:1140—1146.
21. Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous Media and Vibration Theory. Lecture Notes in Physics. Berlin: Springer, 1980;129.
22. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural'tseva N.N. Lineynye i Kvazilineynye Uravneniya Parabolicheskogo Tipa. M.: Nauka, 1967. (in Russian).
23. Meyrmanov A.M., Gerus A.A., Gritsenko S.A. Usrednennye Modeli Izotermicheskoy Akustiki v Konfiguratsii «Uprugoe Telo – Porouprugaya Sreda». Matematicheskoe Modelirovanie. 2016;28;12:3—19. (in Russian).
24. Gritsenko S.A., Meyrmanov A.M. O Modeli Izotermicheskoy Akustiki dlya Dvukhkomponentnoy Sredy. Vestnik MEI. 2017;6:146—151. (in Russian).
25. Conca C. On the Application of the Homogenization Theory to a Class of Problems Arising in Fluid Mechanics. Math. Appl. 1985;64:31—75.
--
For citation: Gritsenko S.A., Meirmanov A.M. An Averaged Model Describing the Propagation of Small Perturbations in the Elas- tic Body – Poroelastic Medium Configuration for a Two-Velocity Continuum. Bulletin of MPEI. 2019;4:127—134. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2019-4-127-134.
Опубликован
2018-07-24
Раздел
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (05.13.18)