Усредненная модель распространения малых возмущений в конфигурации упругое тело – пороупругая среда для двухскоростного континуума

Аннотация

Статья продолжает серию работ авторов, посвященных усреднению математических моделей, описывающих процессы изотермической акустики в гетерогенной среде с двумя компонентами, разделенными общей границей. Одна из компонент является упругим телом, другая — пороупругой сплошной средой. Пороупругой средой называют упругое тело, пронизанное системой пор, заполненных жидкостью. В качестве исходной модели использована точная математическая модель, полученная на основе классических законов механики сплошной среды. Дифференциальные уравнения модели содержат быстро осциллирующие коэффициенты, появляющиеся в результате перехода к безразмерным переменным. Предполагается, что существуют конечные или бесконечные пределы таких коэффициентов при стремлении к нулю малого параметра эпсилон. Авторы полагают малый параметр эпсилон равным отношению среднего размера пор к характерному размеру рассматриваемой области, от них зависят не только коэффициенты дифференциальных уравнений, но и геометрия рассматриваемой области.

Выведены различные усредненные (предельные) модели с отсутствующими быстроосциллирующими коэффициентами. Для того, чтобы воспользоваться теорией усреднения и известными результатами об усреднении, добавлены упрощающие геометрические предположения о периодичностях и связанностях порового пространства и упругого скелета. Под усредненными моделями понимаются такие краевые задачи для уравнений или систем с относительно медленно меняющимися характеристиками, что решения краевых задач для исходных моделей сходятся (в некотором смысле) к решению соответствующих уравнений для усредненной модели, когда период ε рассматриваемой периодической структуры стремится к нулю. В зависимости от характеристик сплошной среды (жидкость вязкая, слабовязкая, сжимаемая, несжимаемая, скелет сильно деформируемый, упругий, абсолютно твердый и т. д.) предельные режимы получаются различными.

Исследован один из случаев со слабосжимаемой, слабовязкой жидкостью и слабодеформируемым упругим скелет в одной области и упругим тело в другой. Исходная математическая модель достаточно точно отражает реальный физический процесс, однако настолько сложна, что стандартная схема усреднения для нее не работает. Поэтому в качестве основного инструмента использован метод двухмасштабной сходимости. С одной стороны, часто нельзя вычислить предельные режимы модели даже в терминах слабой сходимости, но это возможно сделать в терминах двухмасштабной сходимости. С другой стороны, последовательность решений, как правило, получается ограниченной, но не компактной, и в этом случае слабый предел последовательности не является удовлетворительным приближением к решению исходной математической модели, а предпочтительнее использовать двухмасштабный предел. Для отдельно взятой пороупругой области или для области, занятой упругим телом, результаты представлены ранее в работах авторов. В данном случае изучается совместное движение упругого тела и пористой упругой среды, и основная проблема заключается в выводе условий на общей границе упругой и пороупругой областей.