Оценки многочленов от значений Е-функций

Аннотация

В теории трансцендентных чисел одним из основных методов является метод Зигеля-Шидловского, позволяющий доказывать трансцендентность и алгебраическую независимость значений целых функций некоторого класса (Е-функций) при условии алгебраической независимости этих функций над C(z).

Имеется много примеров Е-функций, использующихся в математике — exp(z), sinz, cosz, sinhz, coshz, функции Бесселя и Куммера, «неполная» гамма-функция, обобщённые гипергеометрические функции и некоторые другие специальные функции.

Метод Зигеля—Шидловского позволяет получать оценки снизу модулей многочленов от значений Е-функций. Их называют мерами алгебраической независимости чисел. Они являются количественными характеристиками алгебраической независимости. Получение оценок мер алгебраической независимости имеет длительную историю. Первые оценки мер для значений функции exp(z) получили Э. Борель и К. Малер, а для значений функции Бесселя — К. Зигель. Оценки мер алгебраической независимости для значений Е-функций общего вида устанавливали С. Ленг, А.И. Галочкин, А.Б. Шидловский, Ю.В. Нестеренко.

Постоянная, входящая в оценку меры, называется эффективной, если она может быть выражена через параметры, характеризующие рассматриваемые функции и точки, где берутся их значения. Оценка меры считается эффективной, если она содержит только эффективные постоянные.

Условие алгебраической независимости функций, вообще говоря, недостаточно для получения эффективных оценок мер алгебраической независимости. Для этого требуется выполнение дополнительных условий. Наиболее сложным считается случай, когда основная совокупность функций является алгебраически зависимой над C(z).

В работах автора оценки мер алгебраической независимости значений Е-функций были улучшены. После 1995 г. статей на эту тему не публиковалось, хотя она остаётся актуальной.