Оценки многочленов от значений Е-функций

  • Василий [Vasiliy] Александрович [A.] Горелов [Gorelov]
Ключевые слова: метод Зигеля, мера алгебраической независимости, Е-функции

Аннотация

В теории трансцендентных чисел одним из основных методов является метод Зигеля-Шидловского, позволяющий доказывать трансцендентность и алгебраическую независимость значений целых функций некоторого класса (Е-функций) при условии алгебраической независимости этих функций над C(z).

Имеется много примеров Е-функций, использующихся в математике — exp(z), sinz, cosz, sinhz, coshz, функции Бесселя и Куммера, «неполная» гамма-функция, обобщённые гипергеометрические функции и некоторые другие специальные функции.

Метод Зигеля—Шидловского позволяет получать оценки снизу модулей многочленов от значений Е-функций. Их называют мерами алгебраической независимости чисел. Они являются количественными характеристиками алгебраической независимости. Получение оценок мер алгебраической независимости имеет длительную историю. Первые оценки мер для значений функции exp(z) получили Э. Борель и К. Малер, а для значений функции Бесселя — К. Зигель. Оценки мер алгебраической независимости для значений Е-функций общего вида устанавливали С. Ленг, А.И. Галочкин, А.Б. Шидловский, Ю.В. Нестеренко.

Постоянная, входящая в оценку меры, называется эффективной, если она может быть выражена через параметры, характеризующие рассматриваемые функции и точки, где берутся их значения. Оценка меры считается эффективной, если она содержит только эффективные постоянные.

Условие алгебраической независимости функций, вообще говоря, недостаточно для получения эффективных оценок мер алгебраической независимости. Для этого требуется выполнение дополнительных условий. Наиболее сложным считается случай, когда основная совокупность функций является алгебраически зависимой над C(z).

В работах автора оценки мер алгебраической независимости значений Е-функций были улучшены. После 1995 г. статей на эту тему не публиковалось, хотя она остаётся актуальной.

Сведения об авторе

Василий [Vasiliy] Александрович [A.] Горелов [Gorelov]

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического и компьютерного моделирования НИУ «МЭИ», e-mail: GorelovVA@mpei.ru

Литература

1. Горелов В.А. Об оценках мер алгебраической независимости значений Е-функций // Сибирский математический журнал. 1990. Т. 31. № 5. С. 31—45.
2. Горелов В.А. Оценки мер алгебраической независимости значений Е-функций // Известия Вузов. Серия «Математика». 1992. № 10. С. 6—11.
3. Горелов В.А. Эффективные оценки многочленов от значений Е-функций, связанных алгебраическими уравнениями // Деп. в ВИНИТИ. 1995. № 46.
4. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М: Наука, 1987.
5. Галочкин А.И. Оценка меры взаимной трансцендентности значений Е-функций // Математические заметки. 1968. Т. 3. Вып. 4. С. 377—386.
6. Lang S. A Transcendence Measure for E-functions // Mathematika. 1962. V. 9. P. 157—161.
7. Нестеренко Ю.В. Оценки порядков нулей функций одного класса и их приложение в теории трансцендентных чисел // Известия АН СССР. Серия «Математическая». 1977. Т. 41. № 2. С. 253—284.
8. Галочкин А.И. Оценки снизу многочленов от значений алгебраически зависимых Е-функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. Вып. 1. С. 305—309.
9. Тыртышников Е.Е. Основы алгебры. М: Физматлит, 2017.
10. Dube T.W. The Structure of Polynomial Ideals and Grobner Bases // SIAM J. Comp. 1990. V. 19. No. 4. P. 750—773.
11. Горелов В.А. Алгебраическая независимость значений Е-функций, связанных произвольными алгебраическими уравнениями над (z) // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. Вып. 2. С. 751—755.
12. Фельдман Н.И. Приближения алгебраических чисел. М: Изд-во МГУ, 1981.
13. Нгуен Тьен Тай. Об оценках порядков нулей многочленов от аналитических функций и приложении их к оценкам меры взаимной трансцендентности значений Е-функций // Математический сборник. 1983. Т. 120. № 1. С. 112—142.
---
Для цитирования: Горелов В.А. Оценки многочленов от значений Е-функций // Вестник МЭИ. 2020. № 4. С. 136—143. DOI: 10.24160/1993-6982-2020-4-136-143.
#
1. Gorelov V.A. Ob Otsenkakh Mer Algebraicheskoy Nezavisimosti Znacheniy E-funktsiy. Sibirskiy Matematicheskiy Zhurnal. 1990;31;5:31—45.(in Russian).
2. Gorelov V.A. Otsenki Mer Algebraicheskoy Nezavisimosti Znacheniy E-funktsiy. Izvestiya Vuzov. Seriya «Matematika». 1992;10:6—11.(in Russian).
3. Gorelov V.A. Effektivnye Otsenki Mnogochlenov ot znacheniy E-funktsiy, Svyazannykh Algebraicheskimi Uravneniyami. Dep. v VINITI. 1995;46.(in Russian).
4. Shidlovskiy A.B. Transtsendentnye Chisla. M: Nauka, 1987. (in Russian).
5. Galochkin A.I. Otsenka Mery Vzaimnoy Transtsendentnosti Znacheniy E-funktsiy. Matematicheskie Zametki. 1968;3;4:377—386. (in Russian).
6. Lang S. A Transcendence Measure for E-functions. Mathematika. 1962;9:157—161.
7. Nesterenko Yu.V. Otsenki Poryadkov Nuley Funktsiy Odnogo Klassa i Ikh Prilozhenie v Teorii Transtsendentnykh Chisel. Izvestiya AN SSSR. Seriya «Matematicheskaya». 1977;41;2:253—284. (in Russian).
8. Galochkin A.I. Otsenki Snizu Mnogochlenov ot Znacheniy Algebraicheski Zavisimykh E-funktsiy. Fundamental'naya i Prikladnaya Matematika. 1995;1;1: 305—309. (in Russian).
9. Tyrtyshnikov E.E. Osnovy Algebry. M: Fizmatlit, 2017. (in Russian).
10. Dube T.W. The Structure of Polynomial Ideals and Grobner Bases. SIAM J. Comp. 1990;9;4:750—773.
11. Gorelov V.A. Algebraicheskaya Nezavisimost' Znacheniy E-funktsiy, Svyazannykh Proizvol'nymi Algebraicheskimi Uravneniyami nad (z). Fundamentalnaya i Prikladnaya Matematika. 1998;4; 2:751—755. (in Russian).
12. Fel'dman N.I. Priblizheniya Algebraicheskikh Chisel. M: Izd-vo MGU, 1981. (in Russian).
13. Nguen T'en Tay. Ob Otsenkakh Poryadkov Nuley Mnogochlenov ot Analiticheskikh Funktsiy i Prilozhenii Ikh k Otsenkam Mery Vzaimnoy Transtsendentnosti Znacheniy E-funktsiy. Matematicheskiy Sbornik. 1983; 120;1:112—142. (in Russian).
---
For citotion: Gorelov V.A. Estimates of Polynomials from the Values of E-Functions. Bulletin of MPEI. 2020;4:136—143. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2020-4-136-143.
Опубликован
2019-07-02
Раздел
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА и ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (01.01.06)