Сингулярно возмущенные интегральные уравнения с быстро осциллирующими неоднородностями

Аннотация

Рассмотрены сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения с быстро осциллирующей правой частью. Основная цель работы заключается в обобщении метода регуляризации Ломова и выявлении влияния быстро осциллирующей правой части на асимптотику решения исходной задачи при наличии интегрального оператора. Различные прикладные задачи, связанные со свойствами сред с периодической структурой, ведут к необходимости изучения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими неоднородностями. Уравнения данной типа часто встречаются в приложениях, например, в электрических системах под воздействием высокочастотных внешних сил. Наличие подобных сил создает серьезные проблемы для численного интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений. Поэтому к таким уравнениям обычно применяют асимптотические методы, наиболее известные из которых метод регуляризации Ломова и метод расщепления Фещенко–Шкиля–Николенко. Метод расщепления особенно эффективен в применении к уравнениям с быстро осциллирующей неоднородностью, а в случае неоднородности, содержащей как быстрые, так и медленные компоненты, наиболее результативен метод регуляризации Ломова. Оба метода разработаны, в основном, для сингулярно возмущенных уравнений, не содержащих интегральный оператор. Переход от дифференциальных к интегро-дифференциальным уравнениям требует существенной перестройки алгоритма метода регуляризации. Интегральный член порождает новые типы особенностей в решениях, отличающихся от ранее известных, что затрудняет разработку алгоритма метода регуляризации.