Singularly Perturbed Integral Equations with Rapidly Oscillating Inhomogeneities
DOI:
https://doi.org/10.24160/1993-6982-2022-2-119-126Keywords:
singularly perturbed and integro-differential equations, rapidly oscillating inhomogeneities, regularization of the integralAbstract
Singularly perturbed integro-differential equations with a rapidly oscillating right-hand side are considered. The main goal of this work is to generalize the Lomov regularization method and to reveal the influence of the rapidly oscillating right-hand side on the asymptotics of the solution to the original problem in the presence of an integral operator. Various applied problems related to the properties of media with a periodic structure lead to the need to study differential equations with rapidly oscillating inhomogeneities. Equations of this type are often found in applications such as electrical systems under the influence of high frequency external forces. The presence of such forces creates serious problems for the numerical integration of the corresponding differential equations. Therefore, asymptotic methods are usually applied to such equations, the most well-known of which are the Lomov regularization method and the Feshchenko–Shkil–Nikolenko splitting method. The splitting method is especially effective when applied to equations with a rapidly oscillating inhomogeneity, and in the case of an inhomogeneity containing both fast and slow components, the Lomov regularization method turned out to be the most effective. However, both of these methods were developed mainly for singularly perturbed equations that do not contain an integral operator. The transition from differential equations to integro-differential equations requires a significant restructuring of the regularization method’s algorithm. The integral term generates new types of singularities in solutions that differ from the previously known ones, which complicates the development of an algorithm for the regularization method.
References
2. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011.
3. Рыжих А.Д. Применение метода регуляризации для уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами // Материалы Всесоюз. конф. по асимптотическим методам. Ч. I. Алма-Ата: Наука, 1979, С. 64—66.
4. Фещенко К.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1966.
5. Шкиль Н.И. Асимптотические методы в дифференциальных уравнениях, Киев: Наукова думка, 1971.
6. Далецкий Ю.Л. Асимптотический метод для некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1962. Т. 143. № 5. С. 1026—1029.
7. Калимбетов Б.Т., Сафонов В.Ф. Интегро-дифференцированные сингулярно возмущенные уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами // Вестник КарГУ. Серия «Математика». 2019. Т. 94. № 2. С. 33—47.
8. Калимбетов Б.Т., Сафонов В.Ф. Интегро-дифференциальные сингулярно возмущенные уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами // Современные проблемы математики и механики: Материалы Междунар. конф. М.: МАКС Пресс, 2019. С. 299—302.
9. Калимбетов Б.Т. Асимптотика решений интегро-дифференциальной системы с параметрическим усилением // Теоретические и прикладные вопросы математики, механики и информатики: Материалы Междунар. науч. конф. Караганда, 2019. С. 82—83.
10. Калимбетов, Б.Т., Темирбеков М.А. Асимптотика решения сингулярно возмущенной интегро-дифференциальной системы с быстро осциллирующими коэффициентами // Актуальные проблемы математической физики: Сб. тезисов докл. М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2019. С. 29—30.
11. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные задачи и метод регуляризации. М.: Изд-во МЭИ, 2012.
---
Для цитирования: Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф., Фомина Ю.В. Сингулярно возмущенные интегральные уравнения с быстро осциллирующими неоднородностями // Вестник МЭИ. 2022. № 2. С. 119—126. DOI: 10.24160/1993-6982-2022-2-119-126.
#
1. Lomov S.A. Vvedenie v Obshchuyu Teoriyu Singulyarnykh Vozmushcheniy. M.: Nauka, 1981. (in Russian).
2. Lomov S.A., Lomov I.S. Osnovy Matematicheskoy Teorii Pogranichnogo Sloya. M.: Izd-vo MGU im. M.V. Lomonosova, 2011. (in Russian).
3. Ryzhikh A.D. Primenenie Metoda Regulyarizatsii dlya Uravneniya s Bystro Ostsilliruyushchimi Koeffitsientami. Materialy Vsesoyuz. Konf. po Asimptoticheskim Metodam. Ch. I. Alma-Ata: Nauka, 1979:64—66. (in Russian).
4. Feshchenko K.F., Shkil' N.I., Nikolenko L.D. Asimptoticheskie Metody v Teorii Lineynykh Differentsial'nykh Uravneniy. Kiev: Naukova Dumka, 1966. (in Russian).
5. Shkil' N.I. Asimptoticheskie metody v Differentsial'nykh Uravneniyakh, Kiev: Naukova Dumka, 1971. (in Russian).
6. Daletskiy Yu.L. Asimptoticheskiy Metod dlya Nekotorykh Differentsial'nykh Uravneniy s Ostsilliruyushchimi Koeffitsientami. Doklady AN SSSR. 1962;143;5:1026—1029. (in Russian).
7. Kalimbetov B.T., Safonov V.F. Integro-differentsirovannye Singulyarno Vozmushchennye Uravneniya s Bystro Ostsilliruyushchimi Koeffitsientami. Vestnik KarGU. Seriya «Matematika». 2019;94;2:33—47. (in Russian).
8. Kalimbetov B.T., Safonov V.F. Integro-differentsial'nye Singulyarno Vozmushchennye Uravneniya s Bystro Ostsilliruyushchimi Koeffitsientami. Sovremennye Problemy Matematiki i Mekhaniki: Materialy Mezhdunar. Konf. M.: MAKS Press, 2019:299—302. (in Russian).
9. Kalimbetov B.T. Asimptotika Resheniy Integro-differentsial'noy Sistemy s Parametricheskim Usileniem. Teoreticheskie i Prikladnye Voprosy Matematiki, Mekhaniki i Informatiki: Materialy Mezhdunar. Nauch. Konf. Karaganda, 2019:82—83. (in Russian).
10. Kalimbetov, B.T., Temirbekov M.A. Asimptotika Resheniya Singulyarno Vozmushchennoy Integro-differentsial'noy Sistemy s Bystro Ostsilliruyushchimi Koeffitsientami. Aktual'nye Problemy Matematicheskoy Fiziki: Sb. Tezisov Dokl. M.: Izd-vo MGU im. M.V. Lomonosova, 2019:29—30. (in Russian).
11. Safonov V.F., Bobodzhanov A.A. Kurs Vysshey Matematiki. Singulyarno Vozmushchennye Zadachi i Metod Regulyarizatsii. M.: Izd-vo MEI, 2012. (in Russian).
---
For citation: Bobodzhanova M.A., Safonov V.F., Fomina Yu.V. Singularly Perturbed Integral Equations with Rapidly Oscillating Inhomogeneities. Bulletin of MPEI. 2022;2:119—126. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2022-2-119-126.
