Задача типа Римана–Гильберта для обобщенного уравнения Коши–Римана с сверхсингулярными точками на полуплоскости
Аннотация
В публикации для уравнения с оператором Коши–Римана с сильными изолированными точечными особенностями в младшем коэффициенте найдено интегральное представление решения в классе ограниченных функций на бесконечности и исследована задача типа Римана–Гильберта на полуплоскости.
Хорошо известно, сколь важную роль в приложениях играет теория обобщенных аналитических функций уравнения, созданная И.Н. Векуа, в случае, когда коэффициенты и правая часть обобщенной системы Коши–Римана принадлежат к классу суммируемых функций. Она глубоко связана со многими разделами анализа, геометрии и механики, включая квазиконформные отображения, теории поверхностей и оболочек, газовую динамику. В частности, ее широко используют при моделировании трансзвуковых течений газа, состояний безмоментного напряженного равновесия выпуклых оболочек и многих других процессов. Ключевая роль в ней досталась интегралу Помпейю–Векуа.
Некоторые исследователи считают, что в том случае, когда имеются сильные особенности в младшем коэффициенте, основной аппарат исследования теории обобщенных аналитических функций — интеграл Помпейю–Векуа невозможно применить. Авторам настоящей работы удалось с помощью интеграла Помпейю–Векуа построить решения системы Коши–Римана с сильными изолированными точечными особенностями в младшем коэффициенте в бесконечной области. Используя явное интегральное представление исследована задача типа Римана-Гильберта на полуплоскости для рассматриваемого уравнения.
Литература
2. Hilbert D. Grundzuge Einer Allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen. Leipzig, Berlin: B.G. Teubner, 1924.
3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.
4. Михайлов Л.Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во Таджик НИИНТИ, 1963.
5. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши–Римана с сингулярной точкой. Душанбе: Изд-во АН Таджикской ССР, 1993.
6. Усманов З.Д. Связь многообразия решений общей и модельной обобщенных систем Коши–Римана с сингулярной точкой // Математические заметки. 1999. Т. 66. Вып. 2. С. 302—307.
7. Begehr H., Dai D.Q. On Continuous Solutions of a Generalized Cauchy-Riemann System with More Than One Singularity // J. Differential Equations. 2004. V. 196. Pp. 67—90.
8. Abdymanapov S.A., Tungatarov A.B. Some Classes of Elliptic Systems in the Plane with Singular Coefficients. Almaty: Nauka, 2005.
9. Meziani A. Representation of Solutions of a Singular CR Equation in the Plane // Complex Var. and Elliptic Eq. 2008. V. 53. Pp. 1111—1130.
10. Abdymanapov S.A., Begehr H., Harutugian G., Tungatarov A. Four Boundary Value Problems for the Cauchy-Riemann Equation in a Quarter Plane // Proc. V Intern. Congress. Catania, 2005. Pp. 1137—1147.
11. Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2017. Т. 63. Вып. 1. С. 1—189.
12. Солдатов А.П. Об интеграле Помпею и некоторых его обобщениях // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2021. Т. 14. № 1. С. 60—74.
13. Расулов А.Б., Солдатов А.П. Краевая задача для обобщенного уравнения Коши–Римана с сингулярными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 5. С. 637—650.
14. Раджабов Н.Р., Расулов А.Б. О корректной постановке задач для системы Бицадзе со сверхсингулярной точкой и окружностью // Научные Ведомости БелГУ. Серия «Математика, физика». 2011. № 23(118). Вып. 25. С. 96—101.
15. Расулов А.Б., Дорофеева И.Н. Интегральные представления для обобщенного уравнения Коши–Римана с сверхсингулярной точкой на полуплоскости // Вестник МЭИ. 2020. № 1. С. 105—108.
16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М: Наука, 1977.
17. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
---
Для цитирования: Расулов А.Б., Дорофеева И.Н. Задача типа Римана–Гильберта для обобщенного уравнения Коши–Римана с сверхсингулярными точками на полуплоскости // Вестник МЭИ. 2022. № 3. С. 130—135. DOI: 10.24160/1993-6982-2022-3-130-135.
#
1. Riman B. Sochineniya.M.: Gostekhizdat, 1948. (in Russian).
2. Hilbert D. Grundzuge Einer Allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen. Leipzig, Berlin: B.G. Teubner, 1924.
3. Vekua I.N. Obobshchennye Analiticheskie Funktsii. M.: Fizmatgiz, 1959. (in Russian).
4. Mikhaylov L.G. Novye Klassy Osobykh Integral'nykh Uravneniy i Ikh Primenenie k Differentsial'nym Uravneniyam s Singulyarnymi Koeffitsientami. Dushanbe: Izd-vo Tadzhik NIINTI, 1963. (in Russian).
5. Usmanov Z.D. Obobshchennye Sistemy Koshi–Rimana s Singulyarnoy Tochkoy. Dushanbe: Izd-vo AN Tadzhikskoy SSR, 1993. (in Russian).
6. Usmanov Z.D. Svyaz' Mnogoobraziya Resheniy Obshchey i Model'noy Obobshchennykh Sistem Koshi–Rimana s Singulyarnoy Tochkoy. Matematicheskie Zametki. 1999;66;2:302—307. (in Russian).
7. Begehr H., Dai D.Q. On Continuous Solutions of a Generalized Cauchy-Riemann System with More Than One Singularity. J. Differential Equations. 2004;196:67—90.
8. Abdymanapov S.A., Tungatarov A.B. Some Classes of Elliptic Systems in the Plane with Singular Coefficients. Almaty: Nauka, 2005.
9. Meziani A. Representation of Solutions of a Singular CR Equation in the Plane. Complex Var. and Elliptic Eq. 2008;53:1111—1130.
10. Abdymanapov S.A., Begehr H., Harutugian G., Tungatarov A. Four Boundary Value Problems for the Cauchy-Riemann Equation in a Quarter Plane. Proc. V Intern. Congress. Catania, 2005:1137—1147.
11. Soldatov A.P. Singulyarnye Integral'nye Operatory i Ellipticheskie Kraevye Zadachi. I. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2017;63;1:1—189. (in Russian).
12. Soldatov A.P. Ob Integrale Pompeyu i Nekotorykh Ego Obobshcheniyakh. Vestnik YUUrGU. Seriya «Matematicheskoe Modelirovanie i Programmirovanie». 2021;14;1:60—74. (in Russian).
13. Rasulov A.B., Soldatov A.P. Kraevaya Zadacha dlya Obobshchennogo Uravneniya Koshi–Rimana s Singulyarnymi Koeffitsientami. Differentsial'nye Uravneniya. 2016;52;5:637—650. (in Russian).
14. Radzhabov N.R., Rasulov A.B. O Korrektnoy Postanovke Zadach dlya Sistemy Bitsadze so Sverkhsingulyarnoy Tochkoy i Okruzhnost'yu. Nauchnye Vedomosti BelGU. Seriya «Matematika, Fizika». 2011;23(118);25:96—101. (in Russian).
15. Rasulov A.B., Dorofeeva I.N. Integral'nye Predstavleniya dlya Obobshchennogo Uravneniya Koshi–Rimana s Sverkhsingulyarnoy Tochkoy na Poluploskosti. Vestnik MEI. 2020;1:105—108. (in Russian).
16. Gakhov F.D. Kraevye Zadachi. M: Nauka, 1977. (in Russian).
17. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye Integral'nye Uravneniya. M.: Nauka, 1968. (in Russian).
---
For citation: Rasulov A.B., Dorofeeva I.N. A Riemann–Hilbert Type Problem for the Generalized Cauchy–Riemann Equation with Supersingular Points on a Half-Plane. Bulletin of MPEI. 2022;3:130—135. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2022-3-130-135.
