A Riemann–Hilbert Type Problem for the Generalized Cauchy–Riemann Equation with Supersingular Points on a Half-Plane
DOI:
https://doi.org/10.24160/1993-6982-2022-3-130-135Keywords:
Cauchy–Riemann operator, Vecqua–Pompeiu perator, strong singularities at points, half-plane, Riemann–Hilbert type problemAbstract
For an equation with the Cauchy–Riemann operator having strong isolated point singularities in the lowest coefficient, an integral representation of the solution is found in the class of bounded functions at infinity, and a Riemann–Hilbert type problem on a half-plane is investigated.
Specialists are well aware about the important role played in applications by I.N. Vekua’s theory of generalized analytic functions of an equation in the case when the coefficients and the right-hand side of the generalized Cauchy–Riemann system belong to the class of summable functions. It is deeply linked with many areas of analysis, geometry and mechanics, including quasi-conformal maps, surface theory, shell theory, and gas dynamics. In particular, it is widely used in modeling transonic gas flows, states of momentless stressed equilibrium of convex shells, and many other processes. The Vekua–Pompeiu integral plays a key role in this theory.
When the lowest coefficient has strong singularities, some researchers believe that the Vekua–Pompeiu integral, which is main research engine in the theory of generalized analytic functions, cannot be applied.
By using the Vekua–Pompeiu integral, we have succeeded in constructing solutions of the Cauchy–Riemann system the lowest coefficient of which contains strong isolated point singularities in an infinite domain. A Riemann–Hilbert type problem on a half-plane is investigated for the equation under consideration by using an explicit integral representation.
References
2. Hilbert D. Grundzuge Einer Allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen. Leipzig, Berlin: B.G. Teubner, 1924.
3. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.
4. Михайлов Л.Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во Таджик НИИНТИ, 1963.
5. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши–Римана с сингулярной точкой. Душанбе: Изд-во АН Таджикской ССР, 1993.
6. Усманов З.Д. Связь многообразия решений общей и модельной обобщенных систем Коши–Римана с сингулярной точкой // Математические заметки. 1999. Т. 66. Вып. 2. С. 302—307.
7. Begehr H., Dai D.Q. On Continuous Solutions of a Generalized Cauchy-Riemann System with More Than One Singularity // J. Differential Equations. 2004. V. 196. Pp. 67—90.
8. Abdymanapov S.A., Tungatarov A.B. Some Classes of Elliptic Systems in the Plane with Singular Coefficients. Almaty: Nauka, 2005.
9. Meziani A. Representation of Solutions of a Singular CR Equation in the Plane // Complex Var. and Elliptic Eq. 2008. V. 53. Pp. 1111—1130.
10. Abdymanapov S.A., Begehr H., Harutugian G., Tungatarov A. Four Boundary Value Problems for the Cauchy-Riemann Equation in a Quarter Plane // Proc. V Intern. Congress. Catania, 2005. Pp. 1137—1147.
11. Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2017. Т. 63. Вып. 1. С. 1—189.
12. Солдатов А.П. Об интеграле Помпею и некоторых его обобщениях // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». 2021. Т. 14. № 1. С. 60—74.
13. Расулов А.Б., Солдатов А.П. Краевая задача для обобщенного уравнения Коши–Римана с сингулярными коэффициентами // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. № 5. С. 637—650.
14. Раджабов Н.Р., Расулов А.Б. О корректной постановке задач для системы Бицадзе со сверхсингулярной точкой и окружностью // Научные Ведомости БелГУ. Серия «Математика, физика». 2011. № 23(118). Вып. 25. С. 96—101.
15. Расулов А.Б., Дорофеева И.Н. Интегральные представления для обобщенного уравнения Коши–Римана с сверхсингулярной точкой на полуплоскости // Вестник МЭИ. 2020. № 1. С. 105—108.
16. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М: Наука, 1977.
17. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
---
Для цитирования: Расулов А.Б., Дорофеева И.Н. Задача типа Римана–Гильберта для обобщенного уравнения Коши–Римана с сверхсингулярными точками на полуплоскости // Вестник МЭИ. 2022. № 3. С. 130—135. DOI: 10.24160/1993-6982-2022-3-130-135.
#
1. Riman B. Sochineniya.M.: Gostekhizdat, 1948. (in Russian).
2. Hilbert D. Grundzuge Einer Allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen. Leipzig, Berlin: B.G. Teubner, 1924.
3. Vekua I.N. Obobshchennye Analiticheskie Funktsii. M.: Fizmatgiz, 1959. (in Russian).
4. Mikhaylov L.G. Novye Klassy Osobykh Integral'nykh Uravneniy i Ikh Primenenie k Differentsial'nym Uravneniyam s Singulyarnymi Koeffitsientami. Dushanbe: Izd-vo Tadzhik NIINTI, 1963. (in Russian).
5. Usmanov Z.D. Obobshchennye Sistemy Koshi–Rimana s Singulyarnoy Tochkoy. Dushanbe: Izd-vo AN Tadzhikskoy SSR, 1993. (in Russian).
6. Usmanov Z.D. Svyaz' Mnogoobraziya Resheniy Obshchey i Model'noy Obobshchennykh Sistem Koshi–Rimana s Singulyarnoy Tochkoy. Matematicheskie Zametki. 1999;66;2:302—307. (in Russian).
7. Begehr H., Dai D.Q. On Continuous Solutions of a Generalized Cauchy-Riemann System with More Than One Singularity. J. Differential Equations. 2004;196:67—90.
8. Abdymanapov S.A., Tungatarov A.B. Some Classes of Elliptic Systems in the Plane with Singular Coefficients. Almaty: Nauka, 2005.
9. Meziani A. Representation of Solutions of a Singular CR Equation in the Plane. Complex Var. and Elliptic Eq. 2008;53:1111—1130.
10. Abdymanapov S.A., Begehr H., Harutugian G., Tungatarov A. Four Boundary Value Problems for the Cauchy-Riemann Equation in a Quarter Plane. Proc. V Intern. Congress. Catania, 2005:1137—1147.
11. Soldatov A.P. Singulyarnye Integral'nye Operatory i Ellipticheskie Kraevye Zadachi. I. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2017;63;1:1—189. (in Russian).
12. Soldatov A.P. Ob Integrale Pompeyu i Nekotorykh Ego Obobshcheniyakh. Vestnik YUUrGU. Seriya «Matematicheskoe Modelirovanie i Programmirovanie». 2021;14;1:60—74. (in Russian).
13. Rasulov A.B., Soldatov A.P. Kraevaya Zadacha dlya Obobshchennogo Uravneniya Koshi–Rimana s Singulyarnymi Koeffitsientami. Differentsial'nye Uravneniya. 2016;52;5:637—650. (in Russian).
14. Radzhabov N.R., Rasulov A.B. O Korrektnoy Postanovke Zadach dlya Sistemy Bitsadze so Sverkhsingulyarnoy Tochkoy i Okruzhnost'yu. Nauchnye Vedomosti BelGU. Seriya «Matematika, Fizika». 2011;23(118);25:96—101. (in Russian).
15. Rasulov A.B., Dorofeeva I.N. Integral'nye Predstavleniya dlya Obobshchennogo Uravneniya Koshi–Rimana s Sverkhsingulyarnoy Tochkoy na Poluploskosti. Vestnik MEI. 2020;1:105—108. (in Russian).
16. Gakhov F.D. Kraevye Zadachi. M: Nauka, 1977. (in Russian).
17. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye Integral'nye Uravneniya. M.: Nauka, 1968. (in Russian).
---
For citation: Rasulov A.B., Dorofeeva I.N. A Riemann–Hilbert Type Problem for the Generalized Cauchy–Riemann Equation with Supersingular Points on a Half-Plane. Bulletin of MPEI. 2022;3:130—135. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2022-3-130-135.
