О решении начально-краевых задач для параболического уравнения в классах Дини

Аннотация

Метод потенциалов — один из классических методов решения начально-краевых задач для параболических уравнений и систем. Его основу составляет исследование гладкости параболических потенциалов в различных функциональных пространствах, а также изучение разрешимости соответствующих интегральных уравнений и систем, к которым сводятся поставленные задачи. Он позволяет находить конструктивный вид решений начально-краевых задач и непосредственно исследовать гладкость решений.

Настоящая работа продолжает серию работ по построению теории разрешимости параболических начально-краевых задач в областях с негладкими по временной переменной боковыми границами.

Рассмотрены первая и вторая начально-краевые задачи с нулевым начальным условием для одномерного по пространственной переменной равномерно параболического уравнения. Предполагается, что коэффициенты уравнения ограничены и равномерно непрерывны с модулем непрерывности, удовлетворяющим дважды условию Дини. Особенность работы состоит в том, что правая часть уравнения может расти к бесконечности определенным образом при приближении к прямой задания начальных данных. Установлена разрешимость (в классическом смысле) данных задач в полуограниченной криволинейной области на плоскости с негладкой боковой границей из класса Дини—Гёльдера, допускающей, в частности, «клювы». Решение построено в виде суммы плоского параболического потенциала и потенциала простого слоя, ядром которых является фундаментальное решение уравнения. Исследована гладкость решения указанных задач в классах Дини—Гёльдера и получены соответствующие оценки корректности, характеризующие поведение решений и их пространственной производной первого порядка в замыкании области. Полученные результаты можно использовать для изучения процессов тепло- и массопереноса.

В качестве доказательства исследована гладкость в пространстве Дини—Гёльдера плоского параболического потенциала с неограниченной плотностью класса Дини в криволинейной области с негладкой боковой границей. Полученный результат может быть использован при решении других начально-краевых задач для неоднородного параболических уравнения.