Some Problems of the Optimal Recovery Theory
DOI:
https://doi.org/10.24160/1993-6982-2024-3-135-140Keywords:
optimal method, extremal problem, linear operator, Fourier transform, divided differenceAbstract
A number of results related to the optimal recovery of finite differences based on approximately known information is discussed:
- the problem of simultaneously recovering the operators of all differences of a sequence in the Euclidean norm within a class of sequences with a bounded n-th divided difference based on an approximately known Fourier transform of the sequence on a segment;
- the problem of recovering the operator of a k-th divided difference of a sequence in the Euclidean norm from imprecisely specified divided differences of other orders;
- the problem of the best recovery of the powers of a finite-dimensional operator based on some approximately known powers. In all of these problems, recovery methods are constructed within their respective classes.
The problems addressed in this work are applicable in scenarios such as reconstructing the body temperature in heat conduction equations or recovering the solution of a system of ordinary differential equations.
References
1. Смоляк С.А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: автореф. дис….канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1965.
2. Miccheli C.A., Rivlin T.J. A Survey of Optimal Recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory. N.-Y.: Plenum Press, 1977. Pp. 1—54.
3. Miccheli C.A., Rivlin T.J. Lectures on Optimal Recovery // Lectures Notes in Mathematics. Berlin: Springer Verlag, 1985. V. 1129. Рp. 21—93.
4. Melkman A.A., Miccheli C.A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data // SIAM J. Numer. Anal. 1979. V. 16. Pp. 87—105.
5. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов по неточной информации // Итоги науки: Материалы математического форума. 2003. № 2. С. 158—192.
6. Унучек С.А. Восстановление операторов разделенной разности последовательности по неточно заданной информации: автореф. дис….канд. физ.-мат. наук. М.: Российский ун-т дружбы народов, 2018.
7. Osipenko K.Yu. Optimal Recovery of Linear Operators from Inaccurate Information // Proc. Intern. Conf. of Young Sci. Mathematical Analysis and Mathematical Modeling. Vladikavkaz, 2015. Pp. 43—68.
8. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2011.
9. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении решений разностных уравнений по неточным измерениям // Проблемы математического анализа. 2013. Т. 69. С. 47—54.
10. Унучек С.А. Оптимальное восстановление разделенных разностей по неточно заданной последовательности // Дифференциальные уравнения, 2015. Т. 51. № 7. С. 951—957.
11. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства производных // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. С. 51—64.
12. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа и восстановление производных по неточной информации // Доклад РАН. 2011. Т. 438(3). С. 300—302.
13. Унучек С.А. Оптимальное восстановление оператора разделенной разности по неточно заданным разностям // Итоги науки: Материалы математического форума. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2016. Т. 10(1). С. 215—225.
14. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям // Математический сборник. 2009. Т. 200(5). С. 37—54.
15. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру? // Математические заметки. 2012. Т. 92(1). С. 59—67.
16. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю., Тихомиров В.М. Оптимальное восстановление и теория экстремума // Доклад РАН. 2001. Т. 379(2). С. 161—164.
17. Абрамова Е.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Сивкова Е.О. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле для полупространства по неточным измерениям // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. Т. 60(10). С. 1711—1720.
18. Абрамова Е.В., Сивкова Е.О. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле для полуплоскости // Сибирский математический журнал. 2023. V. 64(3). C. 441—449.
19. Абрамова Е.В. Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным данным // Владикавказский математический журнал. 2015. Т. 17(1). С. 3—13.
---
Для цитирования: Абрамова Е.В., Унучек С.А. Некоторые задачи теории оптимального восстановления // Вестник МЭИ. 2024. № 3. С. 135—140. DOI: 10.24160/1993-6982-2024-3-135-140
---
Конфликт интересов: авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов
#
1. Smolyak S.A. Ob Optimal'nom Vosstanovlenii Funktsiy i Funktsionalov ot Nikh: Avtoref. Dis….Kand. Fiz.-mat. Nauk. M.: MGU, 1965. (in Russian).
2. Miccheli C.A., Rivlin T.J. A Survey of Optimal Recovery. Optimal Estimation in Approximation Theory. N.-Y.: Plenum Press, 1977:1—54.
3. Miccheli C.A., Rivlin T.J. Lectures on Optimal Recovery. Lectures Notes in Mathematics. Berlin: Springer Verlag, 1985;1129:21—93.
4. Melkman A.A., Miccheli C.A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data. SIAM J. Numer. Anal. 1979;16:87—105.
5. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Optimal'noe Vosstanovlenie Lineynykh Operatorov po Netochnoy Informatsii. Itogi Nauki: Materialy Matematicheskogo Foruma. 2003;2:158—192. (in Russian).
6. Unuchek S.A. Vosstanovlenie Operatorov Razdelennoy Raznosti Posledovatel'nosti po Netochno Zadannoy Informatsii: Avtoref. Dis….Kand. Fiz.-mat. Nauk. M.: Rossiyskiy Un-t Druzhby Narodov, 2018. (in Russian).
7. Osipenko K.Yu. Optimal Recovery of Linear Operators from Inaccurate Information. Proc. Intern. Conf. of Young Sci. Mathematical Analysis and Mathematical Modeling. Vladikavkaz, 2015:43—68.
8. Magaril-Il'yaev G.G., Tikhomirov V.M. Vypuklyy Analiz i ego Prilozheniya. M.: Editorial URSS, 2011. (in Russian).
9. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Ob Optimal'nom Vosstanovlenii Resheniy Raznostnykh Uravneniy po Netochnym Izmereniyam. Problemy Matematicheskogo Analiza. 2013;69:47—54. (in Russian).
10. Unuchek S.A. Optimal'noe Vosstanovlenie Razdelennykh Raznostey po Netochno Zadannoy Posledovatel'nosti. Differentsial'nye Uravneniya, 2015;51;7:951—957. (in Russian).
11. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Optimal'noe Vosstanovlenie Funktsiy i Ikh Proizvodnykh po Priblizhennoy Informatsii o Spektre i Neravenstva Proizvodnykh. Funktsional'nyy Analiz i Ego Prilozheniya. 2003;37:51—64. (in Russian).
12. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Neravenstvo Khardi-Littlvuda-Polia i Vosstanovlenie Proizvodnykh po Netochnoy Informatsii. Doklad RAN. 2011;438(3):300—302. (in Russian).
13. Unuchek S.A. Optimal'noe Vosstanovlenie Operatora Razdelennoy Raznosti po Netochno Zadannym Raznostyam. Itogi Nauki: Materialy Matematicheskogo Foruma. Vladikavkaz: YUMI VNTS RAN, 2016;10(1):215—225. (in Russian).
14. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Optimal'noe Vosstanovlenie Resheniya Uravneniya Teploprovodnosti po Netochnym Izmereniyam. Matematicheskiy Sbornik. 2009;200(5):37—54. (in Russian).
15. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Kak Nailuchshim Obrazom Vosstanovit' Funktsiyu po Netochno Zadannomu Spektru? Matematicheskie Zametki. 2012;92(1):59—67. (in Russian).
16. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu., Tikhomirov V.M. Optimal'noe Vosstanovlenie i Teoriya Ekstremuma. Doklad RAN. 2001;379(2):161—164. (in Russian).
17. Abramova E.V., Magaril-Il'yaev G.G., Sivkova E.O. Nailuchshee Vosstanovlenie Resheniya Zadachi Dirikhle dlya Poluprostranstva po Netochnym Izmereniyam. Zhurnal Vychislitel'noy Matematiki i Matematicheskoy Fiziki. 2020;60(10):1711—1720. (in Russian).
18. Abramova E.V., Sivkova E.O. Optimal'noe Vosstanovlenie Resheniya Zadachi Dirikhle dlya Poluploskosti. Sibirskiy Matematicheskiy Zhurnal. 2023;64(3):441—449. (in Russian).
19. Abramova E.V. Vosstanovlenie Resheniya Zadachi Dirikhle po Netochnym Granichnym Dannym. Vladikavkazskiy Matematicheskiy Zhurnal. 2015;17(1):3—13. (in Russian)
---
For citation: Abramova E.V., Unuchek S.A. Some Problems of the Optimal Recovery Theory. Bulletin of MPEI. 2024;3:135—140. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2024-3-135-140
---
Conflict of interests: the authors declare no conflict of interest
2. Miccheli C.A., Rivlin T.J. A Survey of Optimal Recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory. N.-Y.: Plenum Press, 1977. Pp. 1—54.
3. Miccheli C.A., Rivlin T.J. Lectures on Optimal Recovery // Lectures Notes in Mathematics. Berlin: Springer Verlag, 1985. V. 1129. Рp. 21—93.
4. Melkman A.A., Miccheli C.A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data // SIAM J. Numer. Anal. 1979. V. 16. Pp. 87—105.
5. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов по неточной информации // Итоги науки: Материалы математического форума. 2003. № 2. С. 158—192.
6. Унучек С.А. Восстановление операторов разделенной разности последовательности по неточно заданной информации: автореф. дис….канд. физ.-мат. наук. М.: Российский ун-т дружбы народов, 2018.
7. Osipenko K.Yu. Optimal Recovery of Linear Operators from Inaccurate Information // Proc. Intern. Conf. of Young Sci. Mathematical Analysis and Mathematical Modeling. Vladikavkaz, 2015. Pp. 43—68.
8. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2011.
9. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Об оптимальном восстановлении решений разностных уравнений по неточным измерениям // Проблемы математического анализа. 2013. Т. 69. С. 47—54.
10. Унучек С.А. Оптимальное восстановление разделенных разностей по неточно заданной последовательности // Дифференциальные уравнения, 2015. Т. 51. № 7. С. 951—957.
11. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства производных // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. С. 51—64.
12. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа и восстановление производных по неточной информации // Доклад РАН. 2011. Т. 438(3). С. 300—302.
13. Унучек С.А. Оптимальное восстановление оператора разделенной разности по неточно заданным разностям // Итоги науки: Материалы математического форума. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2016. Т. 10(1). С. 215—225.
14. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление решения уравнения теплопроводности по неточным измерениям // Математический сборник. 2009. Т. 200(5). С. 37—54.
15. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Как наилучшим образом восстановить функцию по неточно заданному спектру? // Математические заметки. 2012. Т. 92(1). С. 59—67.
16. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю., Тихомиров В.М. Оптимальное восстановление и теория экстремума // Доклад РАН. 2001. Т. 379(2). С. 161—164.
17. Абрамова Е.В., Магарил-Ильяев Г.Г., Сивкова Е.О. Наилучшее восстановление решения задачи Дирихле для полупространства по неточным измерениям // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2020. Т. 60(10). С. 1711—1720.
18. Абрамова Е.В., Сивкова Е.О. Оптимальное восстановление решения задачи Дирихле для полуплоскости // Сибирский математический журнал. 2023. V. 64(3). C. 441—449.
19. Абрамова Е.В. Восстановление решения задачи Дирихле по неточным граничным данным // Владикавказский математический журнал. 2015. Т. 17(1). С. 3—13.
---
Для цитирования: Абрамова Е.В., Унучек С.А. Некоторые задачи теории оптимального восстановления // Вестник МЭИ. 2024. № 3. С. 135—140. DOI: 10.24160/1993-6982-2024-3-135-140
---
Конфликт интересов: авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов
#
1. Smolyak S.A. Ob Optimal'nom Vosstanovlenii Funktsiy i Funktsionalov ot Nikh: Avtoref. Dis….Kand. Fiz.-mat. Nauk. M.: MGU, 1965. (in Russian).
2. Miccheli C.A., Rivlin T.J. A Survey of Optimal Recovery. Optimal Estimation in Approximation Theory. N.-Y.: Plenum Press, 1977:1—54.
3. Miccheli C.A., Rivlin T.J. Lectures on Optimal Recovery. Lectures Notes in Mathematics. Berlin: Springer Verlag, 1985;1129:21—93.
4. Melkman A.A., Miccheli C.A. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data. SIAM J. Numer. Anal. 1979;16:87—105.
5. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Optimal'noe Vosstanovlenie Lineynykh Operatorov po Netochnoy Informatsii. Itogi Nauki: Materialy Matematicheskogo Foruma. 2003;2:158—192. (in Russian).
6. Unuchek S.A. Vosstanovlenie Operatorov Razdelennoy Raznosti Posledovatel'nosti po Netochno Zadannoy Informatsii: Avtoref. Dis….Kand. Fiz.-mat. Nauk. M.: Rossiyskiy Un-t Druzhby Narodov, 2018. (in Russian).
7. Osipenko K.Yu. Optimal Recovery of Linear Operators from Inaccurate Information. Proc. Intern. Conf. of Young Sci. Mathematical Analysis and Mathematical Modeling. Vladikavkaz, 2015:43—68.
8. Magaril-Il'yaev G.G., Tikhomirov V.M. Vypuklyy Analiz i ego Prilozheniya. M.: Editorial URSS, 2011. (in Russian).
9. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Ob Optimal'nom Vosstanovlenii Resheniy Raznostnykh Uravneniy po Netochnym Izmereniyam. Problemy Matematicheskogo Analiza. 2013;69:47—54. (in Russian).
10. Unuchek S.A. Optimal'noe Vosstanovlenie Razdelennykh Raznostey po Netochno Zadannoy Posledovatel'nosti. Differentsial'nye Uravneniya, 2015;51;7:951—957. (in Russian).
11. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Optimal'noe Vosstanovlenie Funktsiy i Ikh Proizvodnykh po Priblizhennoy Informatsii o Spektre i Neravenstva Proizvodnykh. Funktsional'nyy Analiz i Ego Prilozheniya. 2003;37:51—64. (in Russian).
12. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Neravenstvo Khardi-Littlvuda-Polia i Vosstanovlenie Proizvodnykh po Netochnoy Informatsii. Doklad RAN. 2011;438(3):300—302. (in Russian).
13. Unuchek S.A. Optimal'noe Vosstanovlenie Operatora Razdelennoy Raznosti po Netochno Zadannym Raznostyam. Itogi Nauki: Materialy Matematicheskogo Foruma. Vladikavkaz: YUMI VNTS RAN, 2016;10(1):215—225. (in Russian).
14. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Optimal'noe Vosstanovlenie Resheniya Uravneniya Teploprovodnosti po Netochnym Izmereniyam. Matematicheskiy Sbornik. 2009;200(5):37—54. (in Russian).
15. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu. Kak Nailuchshim Obrazom Vosstanovit' Funktsiyu po Netochno Zadannomu Spektru? Matematicheskie Zametki. 2012;92(1):59—67. (in Russian).
16. Magaril-Il'yaev G.G., Osipenko K.Yu., Tikhomirov V.M. Optimal'noe Vosstanovlenie i Teoriya Ekstremuma. Doklad RAN. 2001;379(2):161—164. (in Russian).
17. Abramova E.V., Magaril-Il'yaev G.G., Sivkova E.O. Nailuchshee Vosstanovlenie Resheniya Zadachi Dirikhle dlya Poluprostranstva po Netochnym Izmereniyam. Zhurnal Vychislitel'noy Matematiki i Matematicheskoy Fiziki. 2020;60(10):1711—1720. (in Russian).
18. Abramova E.V., Sivkova E.O. Optimal'noe Vosstanovlenie Resheniya Zadachi Dirikhle dlya Poluploskosti. Sibirskiy Matematicheskiy Zhurnal. 2023;64(3):441—449. (in Russian).
19. Abramova E.V. Vosstanovlenie Resheniya Zadachi Dirikhle po Netochnym Granichnym Dannym. Vladikavkazskiy Matematicheskiy Zhurnal. 2015;17(1):3—13. (in Russian)
---
For citation: Abramova E.V., Unuchek S.A. Some Problems of the Optimal Recovery Theory. Bulletin of MPEI. 2024;3:135—140. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2024-3-135-140
---
Conflict of interests: the authors declare no conflict of interest
Downloads
Published
2024-02-20
Issue
Section
Differential Equations and Mathematical Physics (1.1.2)
