Regularization Method for a Singularly Perturbed Integral Equation with an Unstable Spectral Value of Exponential Inhomogeneity
DOI:
https://doi.org/10.24160/1993-6982-2025-6-189-198Keywords:
singularly perturbed problem, integro-differential equation, exponential inhomogeneity, spectral value instability, regularized asymptotics of the fundamental solutionAbstract
A singularly perturbed integral equation (SPIE) with exponential inhomogeneity whose spectral value becomes equal to zero at an isolated point of the independent variable segment is considered. The problem belongs to the class of singularly perturbed equations with an unstable spectrum. Earlier, a similar problem for an integro-differential equation was analyzed. Regularization and asymptotic analysis of SPIE solutions in the vicinity of zero of the inhomogeneity spectral value represent a special difficulty in studying them. However, the possibility of applying the well-known procedure of Lomov's regularization method is problematic under such conditions. In view of these circumstances, the method of constructing the asymptotics of the solution of the initial problem was applied that is based on the use of the regularized asymptotic solution of the fundamental solution of the corresponding homogeneous equation. In the first part of the study, an algorithm of the regularization method for constructing the asymptotics (of any order on the parameter) of the fundamental solution of the corresponding equivalent integro-differential problem is presented. The second part of the study is aimed at constructing the asymptotics of the solution of the initial problem. The main term of the asymptotics is constructed in detail, and the possibility of constructing its higher terms is pointed out
References
1. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем. Фрунзе: Изд-во «Илим», 1974.
2. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.
3. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М.: Изд-во Московского ун-та, 2011.
4. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные задачи и метод регуляризации. М.: Издат. дом МЭИ, 2012.
5. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Интегральные уравнения Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование // Математический сборник. 2001. Т. 192(8). С. 53—78.
6. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные системы с контрастными структурами // Математический сборник. 2005. Т. 196(2). С. 29—56.
7. Сафонов В.Ф., Калимбетов Б.Т. Метод регуляризации для систем с нестабильным спектральным значением ядра интегрального оператора // Диффернциальные уравнения. 1995. Т. 31(4). С. 696—706.
8. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные интегральные и интегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами и уравнения с диагональным вырождением ядра. М.: Спутник+, 2017.
9. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Сингулярно возмущенные интегро-дифференциальные уравнения типа Фредгольма и системы с внутренними переходными слоями. М.: Спутник+, 2018.
10. Бободжанова М.А, Бободжанов А.А., Калимбетов Б.Т., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные интегральные и интегродифференциальные уравнения с линейной комбинацией экспоненциальных неоднородностей. М.: Изд-во МЭИ, 2023.
11. Туйчиев О.Д. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. Душанбе, 2004.
12. Бободжанов А.А., Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф. Регуляризация сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения с несколькими нестабильными спектральными значениями экспоненциальной неоднородности // Вестник МЭИ. 2024. № 5. С. 179—188.
---
Для цитирования: Бободжанов А.А., Бободжанова М.А., Сафонов В.Ф., Туйчиев О.Д. Метод регуляризации для сингулярно возмущенного интегрального уравнения с нестабильным спектральным значением экспоненциальной неоднородности // Вестник МЭИ. 2025. № 6. С. 189—198. DOI: 10.24160/1993-6982-2025-6-189-198
---
Конфликт интересов: авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов
#
1. Imanaliev M.I. Kolebaniya i Ustoychivost' Resheniy Singulyarno vozmushchennykh Integro-differentsial'nykh Sistem. Frunze: Izd-vo «Ilim», 1974. (in Russian).
2. Lomov S.A. Vvedenie v Obshchuyu Teoriyu Singulyarnykh Vozmushcheniy. M.: Nauka, 1981. (in Russian).
3. Lomov S.A., Lomov I.S. Osnovy Matematicheskoy Teorii Pogranichnogo Sloya. M.: Izd-vo Moskovskogo Un-ta, 2011. (in Russian).
4. Safonov V.F., Bobodzhanov A.A. Kurs Vysshey Matematiki. Singulyarno Vozmushchennye Zadachi i Metod Regulyarizatsii. M.: Izdat. Dom MEI, 2012. (in Russian).
5. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Integral'nye Uravneniya Vol'terra s Bystro Izmenyayushchimisya Yadrami i Ikh Asimptoticheskoe Integrirovanie. Matematicheskiy Sbornik. 2001;192(8):53—78. (in Russian).
6. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Singulyarno Vozmushchennye Integro-differentsial'nye Sistemy s Kontrastnymi Strukturami. Matematicheskiy Sbornik. 2005;196(2):29—56. (in Russian).
7. Safonov V.F., Kalimbetov B.T. Metod Regulyarizatsii dlya Sistem s Nestabil'nym Spektral'nym Znacheniem Yadra Integral'nogo Operatora. Differntsial'nye Uravneniya. 1995;31(4):696—706. (in Russian).
8. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Singulyarno Vozmushchennye Integral'nye i Integrodifferentsial'nye Uravneniya s Bystro Izmenyayushchimisya Yadrami i Uravneniya s Diagonal'nym Vyrozhdeniem Yadra. M.: Sputnik+, 2017. (in Russian).
9. Safonov V.F., Bobodzhanov A.A. Singulyarno Vozmushchennye Integro-Differentsial'nye Uravneniya Tipa Fredgol'ma i Sistemy s Vnutrennimi Perekhodnymi Sloyami. M.: Sputnik+, 2018. (in Russian).
10. Bobodzhanova M.A, Bobodzhanov A.A., Kalimbetov B.T., Safonov V.F. Singulyarno Vozmushchennye Integral'nye i Integrodifferentsial'nye Uravneniya s Lineynoy Kombinatsiey Eksponentsial'nykh Neodnorodnostey. M.: Izd-vo MEI, 2023. (in Russian).
11. Tuychiev O.D. Metod Regulyarizatsii dlya Singulyarno Vozmushchennykh Integral'nykh Uravneniy: Avtoref. Dis. … Kand. Fiz.-mat. Nauk. Dushanbe, 2004. (in Russian).
12. Bobodzhanov A.A., Bobodzhanova M.A., Safonov V.F. Regulyarizatsiya Singulyarno Vozmushchennogo Integro-differentsial'nogo Uravneniya s Neskol'kimi Nestabil'nymi Spektral'nymi Znacheniyami Eksponentsial'noy Neodnorodnosti. Vestnik MEI. 2024;5:179—188. (in Russian)
---
For citation: Bobodjanov A.A., Bobodjanova M.A., Safonov V.F., Tuichiev O.D. Regularization Method for a Singularly Perturbed Integral Equation with an Unstable Spectral Value of Exponential Inhomogeneity. Bulletin of MPEI. 2025;6:189—198. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2025-6-189-198
---
Conflict of interests: the authors declare no conflict of interest
