On One Tangential Boundary Value Problem of the Field Theory on a Plane
DOI:
https://doi.org/10.24160/1993-6982-2022-6-167-172Keywords:
tangential problem, system of Poisson equations, nonlocal boundary condition, Galerkin method, trace functional kernel, field theoryAbstract
One tangential boundary value problem of the field theory on a plane for the system of Poisson equations is studied. The peculiarity of the problem is that the boundary condition posed on the desired solution in nonlocal in nature. A weak solution of the problem formulated is to be found.
In view of the fact that boundary condition posed on the problem formulated is nonlocal in nature, an appropriate space of functions is introduced, among which the solution of the problem is sought. Since the problem is invariant with regard to the additive vector constant, the search for a solution narrows down to the space of functions having an average integral value equal to zero in the specified domain.
The weak solution of the problem formulated is defined, and it is shown that it is well-posed in nature. The main result of the work is the theorem of the existence and uniqueness of a weak solution of the problem. The proof is carried out in a few stages, and an example for the case of a rectangular domain is given.
References
1. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических краевых задачах// Доклады АН СССР. 1969. Т. 185. № 4. С. 739—740.
2. Скубачевский А.Л. Неклассические краевые задачи. Ч. I // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 26. С. 3—132.
3. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012.
4. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.
5. Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции // Современная математика. Фундаментальные направления. 2014. Т. 54. С. 3—138.
6. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983.
7. Pyatkov S.G. Operator Theory of Nonclassical Problems. Utrecht, Boston, Köln, Tokyo: VSP, 2002.
8. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990.
9. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Математический сборник. 1994. № 185(1). С. 121—160.
10. Дубинский Ю.А. О ядрах операторов следа и краевых задачах теории поля // Проблемы математического анализа. 2020. Вып. 106. С. 73—89.
11. Дубинский Ю.А. О ядрах функционалов следа и граничных задачах теории поля на плоскости // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 2021. Т. 312. С. 150—161.
12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
13. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996.
---
Для цитирования: Провоторова Л.В. Об одной тангенциальной краевой задаче теории поля на плоскости // Вестник МЭИ. 2022. № 6. С. 167—172. DOI: 10.24160/1993-6982-2022-6-166-172
---
Работа выполнена при поддержке: Российского научного фонда (грант № 19-11-0033)
#
1. Bitsadze A.V., Samarskiy A.A. O Nekotorykh Prosteyshikh Obobshcheniyakh Lineynykh Ellipticheskikh Kraevykh Zadachakh. Doklady AN SSSR. 1969;185;4: 739—740. (in Russian).
2. Skubachevskiy A.L. Neklassicheskie Kraevye Zadachi. Ch. I. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2007;26:3—132. (in Russian).
3. Nakhushev A.M. Nagruzhennye Uravneniya i Ikh Primeneniya. M.: Nauka, 2012. (in Russian).
4. Dezin A.A. Obshchie Voprosy Teorii Granichnykh Zadach. M.: Nauka, 1980. (in Russian).
5. Rossovskiy L.E. Ellipticheskie Funktsional'no-differentsial'nye Uravneniya so Szhatiem i Rastyazheniem Argumentov Neizvestnoy Funktsii. Sovremennaya Matematika. Fundamental'nye Napravleniya. 2014;54:3—138. (in Russian).
6. Vragov V.N. Kraevye Zadachi dlya Neklassicheskikh Uravneniy Matematicheskoy Fiziki. Novosibirsk: Izd-vo NGU, 1989. (in Russian).
7. Pyatkov S.G. Operator Theory of Nonclassical Problems. Utrecht, Boston, Köln, Tokyo: VSP, 2002.
8. Kozhanov A.I. Kraevye Zadachi dlya Neklassicheskikh Uravneniy Nechetnogo Poryadka. Novosibirsk, NGU, 1990. (in Russian).
9. Gushchin A.K., Mikhaylov A.P. O Razreshimosti Nelokal'nykh Zadach dlya Ellipticheskogo Uravneniya Vtorogo Poryadka. Matem. sbornik. 1991;185(1):121—160. (in Russian).
10. Dubinskiy Yu.A. O Yadrakh Operatorov Sleda i Kraevykh Zadachakh Teorii Polya. Problemy Matematicheskogo Analiza. 2020;106:73—89. (in Russian).
11. Dubinskiy Yu.A. O Yadrakh Funktsionalov Sleda i Granichnykh Zadachakh Teorii Polya na Ploskosti. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V.A. Steklova. 2021;312:150—161. (in Russian).
12. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy Teorii Funktsiy i Funktsional'nogo Analiza. M.: Nauka, 1976. (in Russian).
13. Pugachev V.S. Lektsii po Funktsional'nomu Analizu. M.: Izd-vo MAI, 1996. (in Russian).
---
For citation: Provotorova L.V. On One Tangential Boundary Value Problem of the Field Theory on a Plane. Bulletin of MPEI. 2022;6:167—172. (in Russian). DOI: 10.24160/1993-6982-2022-6-166-172
---
The work is executed at support: Russian Science Foundation (Grant No. 19-11-0033)
