Нестандартные краевые задачи теории поля на плоскости

Аннотация

Изучены две нестандартные краевые задачи теории двумерных векторных полей для системы уравнений Пуассона. Установлена однозначная разрешимость поставленных задач, включая априорную оценку решений в зависимости от данных задачи. Приведен пример для случая прямоугольной области, демонстрирующий нестандартные краевые условия поставленных задач.

Доказательству основных результатов предшествует критерий разрешимости интегральных тождеств, соответствующих разложению векторных полей в сумму тангенциального и нормального подпространств. Соответственно, базовыми подпространствами, в которых рассматриваются интегральные тождества (и далее краевые задачи), являются ярда операторов нормального и тангенциального следа в пространстве Соболева. Указанное разложение определяется однозначно касательным вектором к границе области, в которой анализируются задачи. Это возможно в силу рассмотрения двумерных векторных полей, и отличает поставленные задачи от трехмерного случая. Доказательство критерия проведено с использованием теоремы Вишика–Лакса–Мильграма.

Отметим, что интегральные неравенства типа неравенства Фридрихса, полученные в процессе доказательства, представляют, на наш взгляд, определенный самостоятельный интерес. Данные неравенства получены при доказательстве леммы, демонстрирующей безусловный характер разрешимости рассматриваемых интегральных тождеств.